Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 307
Задание 307
\[\boxed{\mathbf{307.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC - прямоугольный;\]
\[\angle C = 90{^\circ};\]
\[CD\bot AB.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC\sim\mathrm{\Delta}ACD\sim\mathrm{\Delta}CDB.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}\text{ABC\ }и\ \mathrm{\Delta}CDB.\]
\[\angle CDB = \angle ACB = 90{^\circ};\ \]
\[\angle B - общий:\]
\[\angle DCB = 90{^\circ} - \angle B;\]
\[\angle CAB = 90{^\circ} - \angle B;\]
\[\angle DCB = \angle CAB.\]
\[2)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}\text{ABC\ }и\ \mathrm{\Delta}CDA.\]
\[\angle ACB = \angle CDA = 90{^\circ}\ и\ \]
\[\angle A - общий:\]
\[\angle ACD = 90{^\circ} - \angle A;\ \]
\[\angle ABC = 90{^\circ} - \angle A;\]
\[\angle ACD = \angle ABC.\]
\[3)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}\text{CDA\ }и\ \mathrm{\Delta}CDB.\]
\[\angle ADC = \angle CDB = 90{^\circ}\ и\ \]
\[\angle ACD = \angle ABC:\ \]
\[\angle DCB = \angle CAB.\]
\[4)\ Отсюда:\]
\[\ \mathrm{\Delta}ABC\sim\mathrm{\Delta}ACD\sim\mathrm{\Delta}CDB.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{307.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[AB = AC;\]
\[AP = PQ = QR = RB = BC.\]
\[\mathbf{Найти:}\]
\[\angle A - ?\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[1)\ AB = AC:\]
\[\ \mathrm{\Delta}ABC - ранобедренный;\]
\[\angle C = \angle B\ (по\ свойству).\]
\[2)\ Пусть\ \angle C = \angle B = x;\ \ \ \angle A = y.\]
\[3)\ \mathrm{\Delta}APQ - равнобедренный:\]
\[\angle A = \angle PQA = y;\]
\[\angle A + \angle PQA + \angle APQ = 180{^\circ}\ (по\ теореме\ о\ сумме\ углов\ в\ треугольнике);\ \]
\[\ \angle APQ = 180{^\circ} - 2y.\]
\[4)\ \mathrm{\Delta}PQR - равнобедренный:\]
\[\angle APQ + \angle QPR = 180{^\circ}\ (как\ смежные);\]
\[\angle QPR = 180{^\circ} - \angle APQ = 180{^\circ} - 180{^\circ} + 2y = 2y;\]
\[\angle QPR = \angle QRP\ (так\ как\ \mathrm{\Delta}PQR - равнобедренный).\]
\[По\ теореме\ о\ сумме\ углов\ в\ треугольнике:\]
\[\angle PQR = 180{^\circ} - \angle QPR - \angle QRP = 180{^\circ} - 4y.\]
\[5)\ \mathrm{\Delta}QRB - равнобедренный:\]
\[\angle BQR = 180{^\circ} - (\angle PQA + \angle PQR) = 180{^\circ} - (y + 180{^\circ} - 4y) =\]
\[= 180{^\circ} - 180{^\circ} + 3y = 3y\ (как\ смежные);\]
\[\angle BQR = \angle RBQ = 3y.\]
\[По\ теореме\ о\ сумме\ углов\ в\ треугольнике:\]
\[\angle QRB = 180{^\circ} - (\angle BQR + \angle RBQ) = 180{^\circ} - 6y.\ \]
\[6)\ \mathrm{\Delta}RBC - равнобедренный:\]
\[\angle BRC = 180{^\circ} - (\angle PRQ + \angle BRQ) = 180{^\circ} - (2y + 180{^\circ} - 6y) =\]
\[180{^\circ} - 180{^\circ} + 4y = 4y\ (как\ смежные);\]
\[\angle BRC = \angle BCR = 4y\ (так\ как\ \mathrm{\Delta}RBC - равнобедренный).\]
\[7)\ \mathrm{\Delta}ABC - равнобедренный:\]
\[\angle B = \angle C = 4y;\]
\[\angle A + \angle B + \angle C = 180{^\circ}\ (по\ теоремме\ о\ сумме\ углов\ в\ треугольнике);\]
\[y + 4y + 4y = 180{^\circ}\]
\[9y = 180{^\circ}\]
\[y = 20{^\circ}\]
\[\angle A = 20{^\circ}.\]
\[\mathbf{Ответ:}\angle A = 20{^\circ}.\]
