Решебник по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 1409

\[\boxed{\mathbf{1409.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[\mathbf{Рисунок\ к\ задаче:425.}\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[EF\bot AB;\]

\[KC = LD;\ \]

\[\angle O = 90{^\circ};\]

\[F - фигура.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[S_{F} = \frac{\text{πE}F^{2}}{4}.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ Пусть\ OA = R;\ OC = r:\ \]

\[AC = DB = \frac{R - r}{2};\ \]

\[EF = R + r.\]

\[2)\ S_{F} =\]

\[= \frac{1}{2}\pi R^{2} + \frac{1}{2}\pi r^{2} - \pi\left( \frac{R - r}{2} \right)^{2} =\]

\[= \frac{\pi}{4}(2\left( R^{2} + r^{2} \right) - (R - r)^{2}) =\]

\[= \frac{\pi}{4}\ \left( 2R^{2} + 2r^{2} - R^{2} + 2Rr - r^{2} \right) =\]

\[= \frac{\pi}{4}\left( R^{2} + 2Rr + r^{2} \right) =\]

\[= \frac{\pi}{4}(R + r)^{2} = \frac{\pi}{4} \cdot EF^{2}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]