Решебник по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 1378

\[\boxed{\mathbf{1378.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[Дано:\]

\[A\left( x_{1};y_{1} \right);\ \]

\[B\left( x_{2};y_{2} \right);\ \]

\[C\left( x_{3};y_{3} \right);\ \]

\[AA_{1},\ BB_{1} - медианы;\]

\[M = AA_{1} \cap BB_{1};\ \ \]

\[M(x,\ y).\]

\[Найти:\]

\[x,\ y - ?\]

\[Решение.\]

\[1)\ Найдем\ координаты\ \]

\[середины\ стороны\ \text{BC}:\]

\[\left\{ \begin{matrix} x = \frac{x_{B} + x_{c}}{2} = \frac{x_{2} + x_{3}}{2} \\ y = \frac{y_{B} + y_{c}}{2} = \frac{y_{2} + y_{3}}{2} \\ \end{matrix}\ \right.\ \]

\[A_{1}\left( \frac{x_{2} + x_{3}}{2};\ \frac{y_{2} + y_{3}}{2} \right).\]

\[2)\ Точка\ пересечения\ медиан\ \]

\[M\ делит\ медиану\ AA_{1}\ \]

\[в\ отношении\ 2\ :1.\]

\[3)\ По\ доказанному\ \]

\[в\ задаче\ 1257:\]

\[\left\{ \begin{matrix} x = \frac{x_{A} + \lambda x_{A1}}{1 + \lambda} \\ y = \frac{y_{A} + \lambda y_{A1}}{1 + \lambda}\ \\ \end{matrix} \right.\ \ \Longrightarrow \lambda = 2;\ \ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x = \frac{x_{1} + 2\left( \frac{x_{2} + x_{3}}{2} \right)}{1 + 2} \\ y = \frac{y_{1} + 2\left( \frac{y_{2} + y_{3}}{2} \right)}{1 + 2} \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{3} \\ y = \frac{y_{1} + y_{2} + y_{3}}{3} \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ }\]

\[Ответ:x = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{3};\ \]

\[\ y = \frac{y_{1} + y_{2} + y_{3}}{3}.\]