Решебник по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 1375

\[\boxed{\mathbf{1375.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\]

\[A_{1},B_{1},C_{1} - середины;\]

\[H - точка\ пересечения\ высот;\]

\[G - точка\ пересечения\ медиан.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[G \in OH;\]

\[\frac{\text{HG}}{\text{GO}} = 2.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ По\ правилу\ треугольника:\]

\[\ \overrightarrow{A_{1}O} + \overrightarrow{\text{OG}} = \overrightarrow{A_{1}G}\ и\ \overrightarrow{\text{AH}} + \overrightarrow{\text{HG}} =\]

\[= \overrightarrow{\text{AG}}.\]

\[2)\ По\ теореме\ пересечения\ \]

\[медиан\ треугольника:\]

\[\overrightarrow{\text{AG}} = - 2\overrightarrow{A_{1}G} \Longrightarrow \overrightarrow{\text{AH}} + \overrightarrow{\text{HG}} =\]

\[= - 2\overrightarrow{A_{1}O} - 2\overrightarrow{\text{OG}}.\]

\[3)\ Векторы\ \overrightarrow{\text{AH}}\ и\ \overrightarrow{A_{1}O}\ \]

\[коллинеарны:\]

\[существует\ такое\ число\ x,\ что\ \]

\[\overrightarrow{A_{1}O} = x\overrightarrow{\text{AH}}.\]

\[4)\ Отсюда:\ \]

\[\overrightarrow{\text{HG}} + 2\overrightarrow{\text{OG}} = - (2x + 1)\overrightarrow{\text{AH}}.\]

\[5)\ Аналогично:\ \ \]

\[\overrightarrow{\text{HG}} + 2\overrightarrow{\text{OG}} = - (2m + 1)\overrightarrow{\text{BH}};\ \]

\[где\ m - определяется\ \]

\[из\ равенства\ \overrightarrow{B_{1}O} = m\overrightarrow{\text{BH}}.\]

\[6)\ Векторы\ \overrightarrow{\text{AH}}\ и\ \overrightarrow{\text{BH}}\ \]

\[не\ коллинеарны:\]

\[\overrightarrow{\text{HG}} + 2\overrightarrow{\text{OG}} = \overrightarrow{0} \Longrightarrow \overrightarrow{\text{HG}} = - 2\overrightarrow{\text{OG}}.\]

\[7)\ Значит:\ \]

\[G \in OH\ и\ \ \frac{\text{HG}}{\text{GO}} = 2.\ \]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]