Решебник по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 1330

\[\boxed{\mathbf{1330.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[Дано:\]

\[окружность\ (O;R);\]

\[MB - секущая;\]

\[A\ и\ B - точки\ пересечения\ \]

\[с\ окружностью.\]

\[Доказать:\]

\[MA \cdot MB = MO^{2} - R^{2}.\]

\[Доказательство.\]

\[Построим\ еще\ одну\ секущую\ \]

\[через\ точку\ M,\ проходящую\ \]

\[через\ центр\ O;\]

\[C;D - точки\ ее\ пересечения\ \]

\[с\ окружностью.\]

\[1)\ По\ теореме\ о\ двух\ секущих\ \]

\[из\ одной\ точки:\]

\[AM \cdot BM = CM \cdot DM.\ \ \ \ \ \ \ (1)\]

\[2)\ CM = OM - R;\]

\[DM = OM + R.\]

\[3)\ Подставим\ в\ равенство\ (1):\ \]

\[MA \cdot MB =\]

\[= (OM - R)(OM + R) =\]

\[= OM^{2} - R^{2}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]