Решебник по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 1285

 

\[\boxed{\mathbf{1285.ОК\ ГДЗ - домашка\ н}а\ 5}\]

\(Рисунок\ по\ условию\ задачи:\)

\[\mathbf{Дано:}\]

\[A_{1}A_{2}\ldots A_{n} - правильный\ \]

\[n - угольник;\]

\[MH - перпендикуляры;\]

\[r - радиус\ вписанной\ \]

\[окружности.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[MH_{1} + \ldots + MH_{n} = nr.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ Площадь\ правильного\ \]

\[n - угольника:\]

\[S_{n} = \frac{1}{2}Pr = \frac{1}{2}\text{nar.}\]

\[2)\ С\ другой\ стороны:\]

\[S_{n} =\]

\[= S_{A1A2M} + S_{A_{2A_{3M}}} + \ldots + S_{AnA1M} =\]

\[= \frac{1}{2}a\left( MH_{1} + MH_{2} + \ldots + MH_{n} \right).\]

\[3)\ Получаем:\]

\[\frac{1}{2}nar =\]

\[= \frac{1}{2}a\left( MH_{1} + MH_{2} + \ldots + MH_{n} \right) \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow MH_{1} + MH_{2} + \ldots + MH_{n} = nr.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]