Решебник по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 1280

\[\boxed{\mathbf{1280.ОК\ ГДЗ - домашка\ н}а\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[окружность\ (O;R);\]

\[OA = OB = R;\]

\[\angle AOB = 90{^\circ};\]

\[C \in OB;\ \]

\[CB = CO = \frac{1}{2}R;\]

\[O_{1}\left( C;\frac{R}{2} \right);\ \]

\[K = O_{1} \cap AC.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[AK = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}\text{R.}\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ По\ теореме\ Пифагора\ \]

\[(из\ \mathrm{\Delta}AOC):\]

\[AC^{2} = R^{2} + \left( \frac{R}{2} \right)^{2} = \frac{5R^{2}}{4}.\]

\[2)\ AK = AC - KC = \sqrt{\frac{5R^{2}}{4}} - \frac{R}{2} =\]

\[= \frac{R\sqrt{5}}{2} - \frac{R}{2} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}\text{R.}\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]