Решебник по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 1272

\[\boxed{\mathbf{1272.ОК\ ГДЗ - домашка\ н}а\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\]

\[AA_{1} - биссектриса;\]

\[AC = b;\]

\[AB = c.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[AA_{1} = \frac{2b \bullet \cos\frac{A}{2}}{b + c}.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ S_{\mathrm{\Delta}ABC} = S_{\mathrm{\Delta}ABA_{1}} + S_{\mathrm{\Delta}AA_{1}C};\]

\[2)\ \frac{1}{2}bc \cdot sinA =\]

\[= \frac{1}{2}AA_{1} \cdot csin\frac{A}{2} + \frac{1}{2}AA_{1} \cdot b \cdot \sin\frac{A}{2};\]

\[bc \cdot sinA = (b + c) \cdot AA_{1} \cdot \sin\frac{A}{2}.\]

\[3)\ AA_{1} = \frac{bc \cdot sinA}{(b + c) \cdot \sin\frac{A}{2}} =\]

\[= \frac{2bc \cdot \sin{\frac{A}{2} \cdot \cos\frac{A}{2}}}{(b + c) \cdot \sin\frac{A}{2}} = \frac{2bc\cos\frac{A}{2}}{b + c}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]