Решебник по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 1176

 

\[\boxed{\mathbf{1176.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[Дано:\ \]

\[\angle ABC - острый;\]

\[D - лежит\ внутри\ \angle ABC;\]

\[E \in BA;F \in BC.\]

\[Найти:\]

\[\text{E\ }и\ \text{F\ }так,\ чтобы\ периметр\ \]

\[\mathrm{\Delta}DEF\ был\ наименьшим.\]

\[Решение.\]

\[1)\ Построим\ точку\ D_{1},\]

\[симметричную\ точке\ \text{D\ }\]

\[относительно\ луча\ BA,\ и\]

\[точку\ D_{2},\ симетричную\ точке\ \text{D\ }\]

\[относительно\ луча\ \text{BC.}\]

\[2)\ D_{1}D_{2} \cap BA = E;\]

\[D_{1}D_{2} \cap BC = F;\ \]

\[\mathrm{\Delta}DEF - искомый.\]

\[3)\ Докажем.\]

\[По\ неравенству\ треугольника:\ \]

\[D_{1}D_{2} < D_{1}D + DD_{2};но\ \]

\[D_{1}D_{2} = D_{1}E + EF + FD_{2}.\]

\[D_{1}E = ED\ и\ FD_{2} = FD \Longrightarrow \ \]

\[\Longrightarrow D_{1}D_{2} = ED + EF + FD\ \]

\[или\ D_{1}D_{2} = P_{\text{DEF}} - он\ \]

\[наименьший.\]

\[Так\ как\ DE + EF - наименьшая\ \]

\[и\ DF + FE - наименьшая.\]