Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 1140
Задание 1140
\[\boxed{\mathbf{1140.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[A_{1}A_{2}\ldots A_{n} - правильный\ \]
\[многоугольник;\]
\[окружность\ (O;r) - вписана\ в\ \]
\[многоугольник.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\frac{S_{кр}}{S_{n}} = \frac{C_{окр}}{P_{n}}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Выразим\ площадь\ круга\ и\ \]
\[длину\ окружности:\]
\[S_{кр} = \pi r^{2};\ \]
\[C = 2\pi r.\]
\[2)\ Площадь\ правильного\ \]
\[многоугольника\ равна\ \]
\[половине\ произведения\ его\ \]
\[периметра\ на\ радиус\ \]
\[вписанной\ окружности:\]
\[S_{n} = \frac{1}{2}P_{n} \bullet r.\]
\[3)\ \frac{S_{кр}}{S_{n}} = \frac{\pi r^{2} \bullet 2}{P_{n} \bullet r} = \frac{2\pi R}{P_{n}} = \frac{C}{P_{n}}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{1140.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Рисунки\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\left| \overrightarrow{a} \right| = 1;\]
\[\left| \overrightarrow{b} \right| = \left| \overrightarrow{c} \right| = 2;\]
\[\widehat{\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}} = \widehat{\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}} = 60{^\circ}.\]
\[\mathbf{Найти:}\]
\[\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right) \bullet \overrightarrow{c}.\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[1)\ \mathrm{\Delta}ABK\ и\ \mathrm{\Delta}AFK -\]
\[прямоугольные:\]
\[\angle DAB = \angle DAK + \angle CAB = 120{^\circ};\]
\[\angle BAK = 120{^\circ} - 90{^\circ} = 30{^\circ}.\]
\[По\ свойству\ прямоугольного\ \]
\[треугольника:\]
\[BK = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}.\]
\[2)\ FK = BF - BK = 2 - \frac{1}{2} = 1\frac{1}{2}.\]
\[3)\ \left. \ \frac{AK = \sqrt{AB^{2} - KB^{2}}}{AK = \sqrt{AF^{2} - FK^{2}}} \right| \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow AB^{2} - KB^{2} = AF^{2} - FK^{2}:\]
\[1 - \frac{1}{4} = AF^{2} - \frac{9}{4}\]
\[AF^{2} = 1 - \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = 3\]
\[AF = \sqrt{3}.\]
\[Отсюда:\]
\[\left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right| = \sqrt{3}.\]
\[4)\ \overrightarrow{\text{AF}} = \frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AE}} = > \left| \overrightarrow{\text{AE}} \right| -\]
\[биссектрисса:\]
\[угол\ между\ \overrightarrow{c}\ и\ \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right)\ равен\ \]
\[30{^\circ}.\]
\[5)\ \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right) \bullet \overrightarrow{c} =\]
\[= \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right| \bullet \left| \overrightarrow{c} \right| \bullet \cos{30{^\circ}} =\]
\[= \sqrt{3} \bullet 2 \bullet \frac{\sqrt{3}}{2} = 3.\]
\[\mathbf{Ответ:}3.\]
