Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 918
Задание 918
\[\boxed{\mathbf{918.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{j} \Longrightarrow \overrightarrow{a}\ \left\{ 2;3 \right\}\]
\[\overrightarrow{b} = - 2\overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{j} \Longrightarrow \overrightarrow{b}\ \left\{ - 2;3 \right\}\]
\[\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{i} \Longrightarrow \overrightarrow{c}\ \left\{ 2;0 \right\}\]
\[\overrightarrow{d} = - 4\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{i} \Longrightarrow \overrightarrow{d}\ \left\{ - 3; - 4 \right\}\]
\[\overrightarrow{e} = 2\overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} \Longrightarrow \overrightarrow{e}\ \left\{ 2;\ - 2 \right\}\]
\[\overrightarrow{f} = - 4\overrightarrow{i} - 5\overrightarrow{j} \Longrightarrow \overrightarrow{f}\ \{ - 4;\ - 5\}\]
\[\boxed{\mathbf{918.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Дано:\ \]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[O - центр\ описанной\ \]
\[окружности\ (O;R);\]
\[H - точка\ пересечения\ высот\ \]
\[AA_{1},BB_{1},CC_{1};\]
\[A_{2},B_{2},C_{2} - середины\ AH,BH,\]
\[CH;\]
\[A_{3},B_{3},C_{3} - середины\ сторон\ \]
\[\mathrm{\Delta}\text{ABC.}\]
\[Доказать:\]
\[A_{1},A_{2},A_{3},B_{1},B_{2},B_{3},C_{1},C_{2},C_{3} -\]
\[лежат\ на\ одной\ окружности.\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ Пусть\ точка\ M - середина\ \]
\[отрезка\ OH;\ \ \ MN\bot AC.\]
\[2)\ HB_{1} \parallel MN \parallel OB_{3} \Longrightarrow \ B_{1}N =\]
\[= NB_{3}\ (по\ теореме\ Фалеса):\]
\[\mathrm{\Delta}B_{1}MN =\]
\[= \mathrm{\Delta}B_{3}\text{MN\ }(по\ двум\ катетам).\]
\[Отсюда:\ \]
\[MB_{1} = MB_{3}.\]
\[3)\ Пусть\ B_{4} - точка,\]
\[\ симметричная\ \text{H\ }\]
\[относительно\ \text{AC.}\]
\[Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}OHB_{4}:\ \]
\[MB_{1} - средняя\ линия \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow MB_{1} = \frac{OB_{4}}{2},\ но\ точка\ B_{4}\ \]
\[лежит\ на\ окружности,\ \]
\[описанной\ около\]
\[\ \mathrm{\Delta}\text{ABC\ }(задача\ 886):\]
\[MB_{1} = MB_{3} = \frac{R}{2}.\]
\[4)\ MB_{2} - средняя\ линия\ \]
\[\mathrm{\Delta}BOH \Longrightarrow \ MB_{2} = \frac{\text{OB}}{2} = \frac{R}{2};\]
\[MB_{1} = MB_{2} = MB_{3} = \frac{R}{2};\]
\[5)\ Аналогично:\ \]
\[для\ MA_{1} = MA_{2} = MA_{3} =\]
\[= \frac{R}{2}\ и\ MC_{1} = MC_{2} = MC_{3} = \frac{R}{2}.\]
\[6)\ Следовательно:\ \]
\[A_{1},A_{2},A_{3},B_{1},B_{2},B_{3},C_{1},C_{2},C_{3} -\]
\[лежат\ на\ одной\ \]
\[окружности\ \left( M;\frac{R}{2} \right).\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
