Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 860
Задание 860
\[\boxed{\mathbf{860.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - выпуклый\ \ \]
\[четырехугольник;\]
\[M \in AB;N \in CD;\]
\[AM = MB;\]
\[CN = ND;\]
\[MN = \frac{AB + BC}{2}.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\text{ABCD} - параллелограмм\ или\ \]
\[трапеция.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Если\ стороны\ \]
\[четырехугольника\ попарно\ не\ \]
\[параллельны:\]
\[MN < \frac{AB + BC}{2}.\]
\[2)\ Пусть\ AD \nparallel BC;\ \ AB \parallel CD:\]
\[MN \leq \frac{AD + BC}{2}\text{.\ }\]
\[Неравенство\ \ характерно\ для\ \]
\[равнобедренной\ трапеции.\]
\[3)\ Пусть\ \text{AD} \parallel \text{BC};\ \ \]
\[\Longrightarrow \text{MN} = \frac{\text{AB} + \text{BC}}{2}:\]
\[в\ любом\ случае,\ независимо\ от\ \]
\[того,\ как\ расположены\ пары\ \]
\[других\ сторон.\ \]
\[Следовательно:\]
\[\text{ABCD} - параллелограмм\ или\ \]
\[трапеция.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\ \ \]
\[\boxed{\mathbf{860.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - правильный\ \]
\[пятиугольник;\]
\[F = AD \cap BE.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\textbf{а)}\ \mathrm{\Delta}AED\sim\mathrm{\Delta}AFE;\]
\[\textbf{б)}\frac{\text{DA}}{\text{DF}} = \frac{\text{DF}}{\text{AF}}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[\textbf{а)}\ 1)\ Найдем\ сумму\ углов\ \]
\[пятиугольника:\]
\[S_{5} = (5 - 2) \bullet 180 = 540{^\circ}.\]
\[2)\ Найдем\ величину\ угла\ \]
\[этого\ пятиугольника:\]
\[\alpha = \frac{S_{5}}{5} = \frac{540}{5} = 108{^\circ}.\]
\[3)\ \mathrm{\Delta}AED -\]
\[равнобедренный\ (AE = ED):\]
\[углы\ при\ основании\ \text{AD\ }равны.\]
\[Получаем:\]
\[\angle AED = 108{^\circ};\ \ \]
\[\angle DAE = \angle ADE =\]
\[= \frac{1}{2} \bullet (180 - 108) = 36{^\circ}.\ \]
\[4)\ \mathrm{\Delta}AED\sim\mathrm{\Delta}AFE - по\ первому\ \]
\[признаку\ подобия:\]
\[\angle FAE = \angle DAE = 36{^\circ};\ \ \]
\[\angle FEA = \angle BEA = 36{^\circ}.\]
\[\textbf{б)}\ Из\ подобия\ треугольников:\]
\[k = \frac{\text{AE}}{\text{AF}} = \frac{\text{DA}}{\text{AE}} \Longrightarrow DA \bullet AF = AE^{2}\text{.\ }\]
\[1)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}DFE:\]
\[\angle DFE = 180 - \angle AFE =\]
\[= 180 - 108 = 72{^\circ};\]
\[\angle FDE = 36{^\circ}.\ \]
\[Получаем:\ \]
\[\angle DEF = 180 - (72 + 36) =\]
\[= 72{^\circ} = \angle DFE;\]
\[\mathrm{\Delta}DFE - равнобедренный \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow DF = FE.\]
\[2)\ DE - сторона\ \]
\[пятиугольника \Longrightarrow DE = AE.\ \]
\[\ Отсюда:\]
\[DF = AE;\ \]
\[DA \bullet AF = DF^{2}.\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]
