Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 849
Задание 849
\[\boxed{\mathbf{849.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC - остроугольный;\]
\[AA_{1};BB_{1};CC_{1} - высоты;\]
\[A_{2} = AA_{1} \cap B_{1}C_{1};\]
\[B_{2} = BB_{1} \cap A_{1}C_{1};\]
\[C_{2} = CC_{1} \cap A_{1}B_{1}.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[A_{1}A_{2};B_{1}B_{2};\]
\[C_{1}C_{2} - биссектрисы;\]
\[\ \mathrm{\Delta}A_{1}B_{1}C_{1}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Пересечение\ всех\ высот\ \]
\[треугольника\text{\ ABC\ }обозначим\ \]
\[( \bullet )\text{M.\ }\]
\[2)\ S = \frac{1}{2}BC \bullet AA_{1} = \frac{1}{2}AC \bullet BB_{1}.\]
\[3)\ \mathrm{\Delta}BCB_{1}\sim\mathrm{\Delta}ACA_{1} - по\ \]
\[третьему\ признаку\ подобия\ \]
\[треугольников:\ \]
\[BC \bullet AA_{1} = AC \bullet BB_{1};\ \]
\[\frac{\text{BC}}{BB_{1}} = \frac{\text{AC}}{AA_{1}};\]
\[\angle C - общий.\]
\[4)\ \mathrm{\Delta}CA_{1}B_{1}\sim\mathrm{\Delta}CAB - по\ \]
\[третьему\ признаку\ подобия\ \]
\[треугольников:\ \]
\[\frac{CB_{1}}{CA_{1}} = \frac{\text{BC}}{\text{AC}} = k;\ \]
\[\frac{CB_{1}}{\text{BC}} = \frac{CA_{1}}{\text{AC}} = k;\ \ \]
\[\angle C - общий.\]
\[Следовательно:\ \]
\[\angle B_{1}A_{1}C = \angle A;\ \ \]
\[\angle MA_{1}C_{2} = 90{^\circ} - \angle A.\]
\[5)\ \mathrm{\Delta}BA_{1}C_{1}\sim\mathrm{\Delta}BAC\ \]
\[(аналогично\ пункту\ 4):\]
\[\angle BA_{1}C_{1} = \angle A;\ \ \]
\[\angle MA_{1}B_{2} = 90{^\circ} - \angle A.\]
\[5)\ Отсюда:\]
\[\angle MA_{1}C_{2} = \angle MA_{1}B_{2} = 90{^\circ} - \angle A;\ \ \]
\[A_{1}A_{2} - биссектриса\ \angle A_{1}.\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]
\[\mathbf{(}Доказательство\ того,\ что\ B_{1}B_{2}\text{\ \ }\]
\[и\ C_{1}C_{2}\ биссектрисы,\ делается\]
\[аналогично).\ \ \]
\[\boxed{\mathbf{849.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - четырехугольник;\]
\[E \in AC;\ \ AE = EC;\]
\[F \in BD;BF = FD;\]
\[M = EF \cap AB;\]
\[K = EF \cap CD.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[S_{\text{DCM}} = S_{\text{AKB}}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ AE = EC \Longrightarrow h_{\text{AMK}} =\]
\[= h_{\text{CMK}} \Longrightarrow S_{\text{AMK}} = S_{\text{CMK}}.\]
\[2)\ BF = FD \Longrightarrow h_{\text{DMK}} =\]
\[= h_{\text{BMK}} \Longrightarrow S_{\text{BMK}} = S_{\text{DMK}}.\]
\[Найдем\ сумму\ этих\ равенств\]
\[\ (1) + (2):\]
\[S_{\text{AMK}} + S_{\text{BMK}} = S_{\text{CMK}} + S_{\text{DMK}}\]
\[S_{\text{AKB}} = S_{\text{DCM}}.\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]
