Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 834
Задание 834
\[\boxed{\mathbf{834.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - трапеция;\]
\[\text{AD} \parallel BC;\ \ \]
\[O = AC \cap BD;\]
\[S_{\text{BOC}} = S_{1};\]
\[S_{\text{AOD}} = S_{2}.\]
\[\mathbf{Найти:}\]
\[S_{\text{ABCD}} - ?\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[1)\ AB \parallel CD;\ \ BD - секущая:\ \]
\[\ \angle CBO =\]
\[= \angle ADO\ (накрест\ лежащие).\]
\[\mathrm{\Delta}BOC\sim\mathrm{\Delta}DOA - по\ двум\ углам:\]
\[\angle BOC =\]
\[= \angle DOA\ (как\ вертикальные).\]
\[2)\ Коэффициент\ подобия\ \]
\[треугольников:\]
\[k^{2} = \frac{S_{\text{BOC}}}{S_{\text{AOD}}} = \frac{S_{1}}{S_{2}} \Longrightarrow k = \sqrt{\frac{S_{1}}{S_{2}}}.\]
\[\frac{S_{\text{DAO}}}{S_{\text{DCO}}} = \frac{\text{AO}}{\text{CO}} = \frac{1}{k}\]
\[S_{\text{DAC}} = S_{\text{DAO}} + S_{\text{DCO}} =\]
\[= S_{\text{DAO}} + k \bullet S_{\text{DAO}} = (1 + k) \bullet S_{2}.\]
\[\frac{S_{\text{BAO}}}{S_{\text{BCO}}} = \frac{\text{AO}}{\text{CO}} = \frac{1}{k}\]
\[S_{\text{BAC}} = S_{\text{BAO}} + S_{\text{BCO}} =\]
\[= \frac{S_{\text{BCO}}}{k} + S_{\text{BCO}} = \left( \frac{1}{k} + 1 \right) \bullet S_{1}.\]
\[3)\ Получаем:\]
\[S_{\text{ABCD}} = S_{\text{DAC}} + S_{\text{BAC}} =\]
\[= (1 + k) \bullet S_{2} + \left( \frac{1}{k} + 1 \right) \bullet S_{1} =\]
\[= S_{2} + \sqrt{\frac{S_{1}}{S_{2}}} \bullet S_{2} + \sqrt{\frac{S_{2}}{S_{1}}} \bullet S_{1} + S_{1} =\]
\[= S_{1} + 2\sqrt{S_{1}S_{2}} + S_{2} =\]
\[= \left( \sqrt{S_{1}} + \sqrt{S_{2}} \right)^{2}.\]
\[Ответ:S_{\text{ABCD}} = \left( \sqrt{S_{1}} + \sqrt{S_{2}} \right)^{2}.\]
\[\boxed{\mathbf{834.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - прямоугольник;\]
\[AA_{1};BB_{1};CC_{1};DD_{1} -\]
\[биссектрисы;\]
\[E = AA_{1} \cap BB_{1};\]
\[F = AA_{1} \cap DD_{1};\]
\[G = CC_{1} \cap DD_{1};\]
\[H = BB_{1} \cap CC_{1}.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[EFGH - квадрат.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Так\ как\ биссектрисы\ \]
\[прямых\ углов\ \]
\[в\ прямоугольнике\ \text{ABCD\ }\]
\[образуют\ с\ его\ сторонами\ \]
\[углы\ по\ 45{^\circ},\ то\ получаем,\ что\ \]
\[в\ \mathrm{\Delta}AFD:\]
\[\angle FAD = \angle FDA = 45{^\circ} \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \angle AFD = 90{^\circ}.\ \]
\[2)\ AA_{1} \parallel CC_{1};\ \ \ BB_{1} \parallel DD_{1}:\ \]
\[четырехугольник\ EFGH -\]
\[параллелограмм.\]
\[Следовательно:\]
\[EF = HG;\ \ \]
\[FG = EH;\ \ \]
\[\angle H = \angle F = 90{^\circ};\]
\[\angle E = \angle G = 180{^\circ} - 90{^\circ} = 90{^\circ}.\]
\[Получаем:\]
\[\ EFGH - прямоугольник.\]
\[3)\ Докажем,\ что\ в\ этом\ \]
\[прямоугольнике\ смежные\ \]
\[стороны\ равны.\]
\[\mathrm{\Delta}\text{AE}B_{1} = \ \mathrm{\Delta}C_{1}CD\ по\ гипотенузе\ \]
\[и\ углу:\]
\[AE = EB_{1} = C_{1}G = GD;\]
\[AF - AE = FD - GD;\]
\[EF = FC.\]
\[4)\ Все\ стороны\ \]
\[прямоугольника\ \text{EFGH\ }равны:\]
\[\text{\ \ \ }TF = HG;\ \ FG = EH;\ \]
\[\ EF = FG.\]
\[EFGH - квадрат.\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]
