Решебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 828

 

\[\boxed{\mathbf{828.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунки\ по\ условию\ задачи:\]

\[\textbf{а)}\ \]

\[\textbf{б)}\ \]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\]

\[\textbf{а)}\ MN - ось\ симметрии;\]

\[\textbf{б)}\ более\ одной\ оси\ симметрии.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC - равнобедренный.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[Определение\ оси\ симметрии:\]

\[ось\ и\ фигура\ должны\ иметь\ \]

\[общие\ точки.\]

\[\textbf{а)}\ 1)\ Допустим,\ что\ \text{MN\ }\]

\[пересекает\ стороны\ \mathrm{\Delta}\text{ABC},\ но\ \]

\[не\ проходит\ через\ вершину.\]

\[Тогда\ треугольник\ \]

\[преображается\ в\ невыпуклый\ \]

\[многоугольник.\]

\[2)\ Допустим,\ что\ \text{MN\ }проходит\ \]

\[через\ 2\ вершины\ и\ содержит\ \]

\[одну\ из\ сторон.\ \]

\[Тогда\ \mathrm{\Delta}\ не\ отображается\ сам\ в\ \]

\[себя.\]

\[3)\ Следовательно,\ MN - ось\ \]

\[симметрии,\ должна\ проходить\ \]

\[через\ \ вершину\ и\ пересекать\ \]

\[противоположную\ сторону\ \]

\[треугольника.\]

\[4)\ Допустим,\ что\ \text{MN\ }проходит\ \]

\[через\ вершину\ B\ и\ пересекает\ \ \]

\[сторону\ \text{AC}:\]

\[B \rightarrow B_{1} = B;\ \ A \rightarrow A_{1} = A;\ \ \ \]

\[C \rightarrow C_{1} = C.\]

\[5)\ По\ определению\ осевой\ \]

\[симметрии:\]

\[MN - серединный\ \]

\[перпендикуляр\ к\ AC;\]

\[отметим\ точку\ пересечения\ \]

\[(O)\ и\ получим:\]

\[BO\bot AC;AO = OC.\ \]

\[Следовательно:\]

\[BO - высота\ и\ медиана;\ \]

\[\ \mathrm{\Delta}ABC - равнобедренный,\ с\ \]

\[основанием\ \text{AC.}\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\textbf{б)}\ Мы\ доказали\ в\ а),\ что\ ось\ \]

\[симметрии\ треугольника\ \]

\[проходит\ \ через\ одну\ из\ его\ \]

\[вершин,\ стороны\ в\ этом\ случае\ \]

\[равны,\ а\ треугольник -\]

\[равнобедренный.\]

\[1)\ Допустим,\ что\ \mathrm{\Delta}\text{ABC\ }имеет\ \]

\[не\ одну,\ а\ две\ оси\ симметрии,\]

\[\ назовем\ их\ \text{AD\ }и\ BE,\ которые\ \]

\[проходят\ через\ вершины\ A\ и\ \text{B.}\]

\[Получаем:\]

\[AD - серединный\ \]

\[перпендикуляр;AB = AC;\]

\[BE - серединный\ \]

\[перпендикуляр;AB = BC.\]

\[Следовательно\% + :\]

\[AB = BC = AC;\]

\[\mathrm{\Delta}ABC - равносторонний.\]

\[2)\ Так\ как\ каждая\ ось\ \]

\[симметрии\ проходит\ через\ \]

\[вершину,\ то\ \ равносторонний\ \]

\[треугольник\ не\ может\ иметь\ \]

\[более\ 3\ осей\ \ симметрии.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\boxed{\mathbf{828.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[ABCD - четырехугольник.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[точки\ \text{B\ }и\ \text{D\ }лежат\]

\(по\ разные\ стороны\) \(от\ \text{AC}.\)

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ Допустим,\ что\ \]

\[четырехугольник\ ABCD -\]

\[выпуклый:\ \]

\[точки\ \text{C\ }и\ \text{D\ }будут\ лежать\ \]

\[по\ одну\ сторону\ от\ прямой\ \text{AB};\]

\[а\ точки\ \text{C\ }и\ \text{B\ }по\ одну\ сторону\ \]

\[от\ прямой\ \text{AD}.\]

\[Следовательно:\ \]

\[точка\ \text{C\ }находится\ внутри\ \]

\[\angle BAD;\]

\[а\ точки\ \text{B\ }и\ \text{D\ }лежат\ по\ разные\ \]

\[стороны\ от\ прямой\ \text{AC}.\]

\[\ 2)\ Допустим,\ что\ \]

\[четырехугольник\ ABCD -\]

\[не\ выпуклый\ и\ прямая\ \text{BC\ }\]

\[перескает\ его\ сторону\ \text{AD}:\]

\[E = \left| \text{BC} \right| \cap \left| \text{AD} \right|\text{.\ }\]

\[Следовательно:\ \]

\[точка\ C \in отрезку\ \text{BE\ }и\ лежит\ \]

\[внутри\ угла\ \text{BAE};\]

\[точка\ \text{C\ }находится\ внутри\ \]

\[угла\ \text{BAD}.\]

\[Значит:\ \]

\[\text{B\ }и\ \text{D\ }лежат\ по\ разные\ \]

\[стороны\ от\ \text{AC.}\]

\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]