Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 821
Задание 821
\[\boxed{\mathbf{821.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\mathbf{\ задачи:}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - прямоугольник;\]
\[AA_{1};BB_{1};CC_{1};\]
\[DD_{1} - биссектрисы;\]
\[E = AA_{1} \cap BB_{1};\]
\[F = AA_{1} \cap DD_{1};\]
\[G = CC_{1} \cap DD_{1};\]
\[H = BB_{1} \cap CC_{1}.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[EFGH - квадрат.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Так\ как\ биссектрисы\ \]
\[прямых\ углов\ в\ \]
\[прямоугольнике\ \text{ABCD\ }\]
\[образуют\ с\ его\ сторонами\ углы\ \]
\[по\ 45{^\circ},\ то\ получаем,\ что\ в\ \mathrm{\Delta}AFD:\]
\[\angle FAD = \angle FDA = 45{^\circ} \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \angle AFD = 90{^\circ}.\ \]
\[2)\ AA_{1} \parallel CC_{1};\ \ \ BB_{1} \parallel DD_{1}:\ \]
\[четырехугольник\ EFGH -\]
\[параллелограмм.\]
\[Следовательно:\]
\[EF = HG;\ \ \]
\[FG = EH;\ \ \]
\[\angle H = \angle F = 90{^\circ};\]
\[\angle E = \angle G = 180{^\circ} - 90{^\circ} = 90{^\circ}.\]
\[Получаем:\]
\[\ EFGH - прямоугольник.\]
\[3)\ Докажем,\ что\ в\ этом\ \]
\[прямоугольнике\ смежные\ \]
\[стороны\ равны.\]
\[\mathrm{\Delta}\text{AE}B_{1} = \ \mathrm{\Delta}C_{1}CD\ по\ гипотенузе\ \]
\[и\ углу:\]
\[AE = EB_{1} = C_{1}G = GD;\]
\[AF - AE = FD - GD;\]
\[EF = FC.\]
\[4)\ Все\ стороны\ \]
\[прямоугольника\ \text{EFGH\ }равны:\]
\[\text{\ \ \ }TF = HG;\ \ FG = EH;\ \ EF = FG.\]
\[EFGH - квадрат.\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]
\[\boxed{\mathbf{821.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Доказательство.\]
\[Пусть\ a;b;c;d - градусные\ \]
\[измерения\ дуг.\]
\[\angle 1 = \frac{1}{2}(a + b);\]
\[\angle 2 = \frac{1}{2}(c + d);\]
\[\angle 1 + \angle 2 = \frac{1}{2}(a + c + b + d) =\]
\[= \frac{1}{4}(2a + 2b + 2c + 2d) =\]
\[= \frac{1}{4} \cdot 360{^\circ} = 90{^\circ}.\]
\[В\ треугольнике\ A_{1}KD_{1}:\]
\[\angle K = 180{^\circ} - (\angle 1 + \angle 2) =\]
\[= 180{^\circ} - 90{^\circ} = 90{^\circ}.\]
\[Следовательно:\]
\[A_{1}C_{1}\bot B_{1}D_{1}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
