Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 811
Задание 811
\[\boxed{\mathbf{811.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\mathbf{\ задачи:}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}A_{6} - выпуклый\ \]
\[четырехугольник;\]
\[\angle A_{1} = \angle A_{2} = \angle A_{3} = \angle A_{4} =\]
\[= \angle A_{5} = \angle A_{6} = \alpha.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[A_{1}A_{2} - A_{4}A_{5} = A_{5}A_{6} - A_{2}A_{3} =\]
\[= A_{3}A_{4} - A_{6}A_{1}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Допустим:\]
\[A_{1}A_{2} = a_{1};\ \ A_{2}A_{3} = a_{2};\ \ \]
\[A_{3}A_{4} = a_{3};\]
\[A_{4}A_{5} = a_{4};\ \ \ \ A_{5}A_{6} = a_{5};\ \ \]
\[A_{6}A_{1} = a_{6}.\]
\[2)\ Начертим\ продолжение\ \]
\[сторон\ A_{1}A_{6};\ \ A_{2}A_{3};\ \ A_{4}A_{5};\ \ \ \]
\[получим\ \mathrm{\Delta}B_{1}B_{2}B_{3}.\]
\[3)\ 6 \bullet \alpha = 180 \bullet (6 - 2)\]
\[\alpha = \frac{180 \bullet 4}{6} = 120{^\circ}.\]
\[Смежные\ с\ ними\ углы\ будут\ \]
\[равны:\]
\[\angle B_{1} = \angle B_{2} = \angle B_{3} = 60{^\circ}.\]
\[\mathrm{\Delta}B_{3}A_{6}A_{5};\ \mathrm{\Delta}B_{1}A_{1}A_{2};\ \ \]
\[\mathrm{\Delta}B_{2}A_{4}A_{3} - равносторонние:\]
\[B_{1}B_{2} = B_{2}B_{3} = B_{1}B_{3}\text{.\ \ }\]
\[Значит:\]
\[a_{1} + a_{2} + a_{3} = a_{3} + a_{4} + a_{5} =\]
\[= a_{5} + a_{6} + a_{1}.\]
\[4)\ Продолжим:\]
\[a_{1} + a_{2} = a_{4} + a_{5};\ \ \ \ \]
\[a_{1} - a_{4} = a_{5} - a_{2};\]
\[a_{3} + a_{4} = a_{6} + a_{1};\ \ \]
\[\ a_{1} - a_{4} = a_{3} - a_{6};\]
\[a_{1} - a_{4} = a_{5} - a_{2} = a_{3} - a_{6}.\]
\[Отсюда:\]
\[A_{1}A_{2} - A_{4}A_{5} = A_{5}A_{6} - A_{2}A_{3} =\]
\[= A_{3}A_{4} - A_{6}A_{1}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{811.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\angle AOB;\]
\[AC\bot AO;\]
\[BC\bot BO;\]
\[AC \cap BC = C.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[около\ ACBO\ можно\ описать\ \]
\[окружность.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ По\ условию\ AC\bot AO\ и\ \]
\[BC\bot BO:\]
\[\angle OAC = 90{^\circ};\ \]
\[\angle OBC = 90{^\circ}.\]
\[2)\ По\ теореме\ о\ сумме\ углов\ \]
\[в\ треугольнике:\]
\[\angle A + \angle B + \angle C + \angle O = 360{^\circ};\]
\[\angle A = \angle B = 90{^\circ}.\]
\[Отсюда:\]
\[\angle O + \angle C =\]
\[= 360{^\circ} - (90{^\circ} + 90{^\circ}) = 180{^\circ}.\]
\[3)\ \angle A + \angle B =\]
\[= 180{^\circ}\ и\ \angle O + \angle C = 180{^\circ}.\]
\[Следовательно:\]
\[около\ четырехугольника\ \]
\[\text{ACBO\ }можно\ описать\ \]
\[окружность.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
