Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 725
Задание 725
\[\boxed{\mathbf{725.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - прямоугольная\ \]
\[трапеция;\]
\[BC = a;\]
\[AD = b.\]
\[\mathbf{Найти:}\]
\[r - ?\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[1)\ Проведем\ высоту\ \text{CH\ }\]
\[(CH = 2r).\]
\[2)\ DH = AD - AH =\]
\[= AD - BC = b - a.\]
\[3)\ По\ свойству\ вписанной\ в\ \]
\[четырехугольник\ окружности:\]
\[CD + BA = BC + AD.\]
\[Отсюда:\]
\[CD = BA + AD - BA =\]
\[= a + b - 2r\ \]
\[(так\ как\ AB = CH).\]
\[4)\ По\ теореме\ Пифагора:\]
\[CD^{2} = CH^{2} + HD^{2}\]
\[(a + b - 2r)^{2} =\]
\[= (2r)^{2} + (b - a)^{2}\]
\[a^{2} + 2ab - 4ra - 4rb + b^{2} + 4r^{2} =\]
\[= 4r^{2} + b^{2} - 2ab + a^{2}\]
\[4ab - 4ra - 4rb = 0\]
\[ab - ra - rb = 0\]
\[- r(a + b) = - ab\]
\[r = \frac{\text{ab}}{a + b}.\]
\[\mathbf{Отве}\mathbf{т}\mathbf{:}r = \frac{\text{ab}}{a + b}.\]
\[\boxed{\mathbf{725.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[AD - биссектриса;\]
\[AD \cap BC = D.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\frac{\text{BD}}{\text{AB}} = \frac{\text{DC}}{\text{AC}}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ В\ \mathrm{\Delta}\text{ADB\ }и\ \mathrm{\Delta}ADC;\ \]
\[AH - общая\ высота:\]
\[\frac{S_{\text{ADB}}}{S_{\text{ADC}}} = \frac{BD \bullet AH}{CD \bullet AH} = \frac{\text{BD}}{\text{CD}};\]
\[то\ есть\ площади\ относятся,\ \]
\[как\ основания\ треугольников.\]
\[2)\ S_{\text{ABD}} = \frac{1}{2}DM \bullet AB;\ \ \ \]
\[S_{\text{ACD}} = \frac{1}{2}DK \bullet AC.\]
\[3)\ \mathrm{\Delta}DKA = \mathrm{\Delta}DAM - по\ \]
\[гипотенузе\ и\ острому\ углу:\]
\[DA - общая\ сторона;\]
\[\angle DAK = \angle DAM\ \]
\[(так\ как\ AD - биссектриса).\]
\[Отсюда:\ \]
\[DM = DK.\]
\[4)\ S_{\text{ABD}} = \frac{1}{2}DM \bullet AB;\ \]
\[S_{\text{ACD}} = \frac{1}{2}DK \bullet AC;\ \ \ \]
\[DM = DK.\]
\[Отсюда:\]
\[\frac{S_{\text{ABD}}}{S_{\text{ACD}}} = \frac{\text{AB}}{\text{AC}}.\]
\[5)\frac{S_{\text{ABD}}}{S_{\text{ACD}}} = \frac{\text{BD}}{\text{CD}} = \frac{\text{AB}}{\text{AC}} \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \frac{\text{BD}}{\text{AB}} = \frac{\text{DC}}{\text{AC}}\ \]
\[(по\ свойству\ пропорции).\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
