Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 432
Задание 432
\[\boxed{\mathbf{432.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\text{ABCD} - параллелограмм;\]
\[\text{AM} = \text{MD};\]
\[\text{BN} = \text{NC};\]
\[\text{AN} \cap \text{BD} = K;\]
\[\text{CM} \cap \text{BD} = E.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\text{BK} = \text{KE} = \text{ED}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ \mathrm{\Delta}\text{ABN} = \mathrm{\Delta}\text{CDM} - по\ двум\ \]
\[сторонам\ и\ углу\ между\ ними:\]
\[\text{BN} = \text{MD}\ \]
\[(так\ как\ N\ и\ M - середины);\]
\[\text{AB} = \text{CD};\ \ \]
\[\angle B = \angle D\ \]
\[\left( \ так\ как\ \text{ABCD} - параллелограмм \right).\]
\[2)\ Соответствующие\ элементы\ \]
\[в\ равных\ фигурах\ равны:\]
\[\text{AN} = \text{CM}.\ \]
\[следовательно:\]
\[\text{ANCM} - параллелограмм;\]
\[\ \text{AN} \parallel \text{CM}.\]
\[4)\ \text{BN} = \text{NC};\ \ \text{AN} \parallel \text{CM}:\]
\[\text{BK} = \text{KE}\ (по\ теореме\ Фалеса).\]
\[5)\ \text{AM} = \text{MD};\ \text{AN} \parallel \text{CM}:\]
\[\text{KE} = \text{ED}\ (по\ теореме\ Фалеса).\]
\[6)\ \text{BK} = \text{KE} = \text{ED}.\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]
\[\boxed{\mathbf{432.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[AB > AC;\]
\[AD - биссектриса.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\angle ADB > \angle ADC;\]
\[BD > CD.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Построим:\ \]
\[AC_{1} = AC\ и\ AC_{1} \in AB.\]
\[2)\ \mathrm{\Delta}AC_{1}D = \mathrm{\Delta}ADC - по\ двум\ \]
\[сторонам\ и\ углу\ между\ ними:\]
\[AD - общая;\ \]
\[\angle C_{1}AD = \angle DAC\ \]
\[(так\ как\ AD - биссектриса);\]
\[AC_{1} = AC.\]
\[Отсюда:\ \]
\[C_{1}D = CD;\ \]
\[\angle AC_{1}D = \angle ACB;\ \]
\[\angle ADC = \angle ADC_{1}.\]
\[3)\ \angle ADC = \angle ADC_{1} < \angle ADB.\]
\[4)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}C_{1}BD:\]
\[\angle BC_{1}D = 180{^\circ} - \angle AC_{1}D =\]
\[= 180{^\circ} - \angle ACB =\]
\[= \angle ABC + \angle BAC.\]
\[Значит:\ \]
\[\angle BC_{1}D = \angle ABC.\]
\[5)\ \angle BC_{1}\text{D\ }лежит\ против\ \text{BD\ }и\ \]
\[\angle ABC\ лежит\ против\ C_{1}D,\]
\[\angle BC_{1}D > \angle ABC \Longrightarrow BD > C_{1}\text{D\ }и\ \]
\[C_{1}D = CD:\]
\[BD > CD.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
