Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 423
Задание 423
\[\boxed{\mathbf{423.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Центр\ симметрии\ имеют\ \]
\[буквы\ O\ и\ X.\]
\[\boxed{\mathbf{423.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\ \]
\[\angle 1 = \angle 2;\]
\[\angle 5 = \angle 4;\]
\[\angle A = \alpha;\]
\[BO \cap CO = O.\]
\[\mathbf{Найти:}\]
\[\angle BOC - ?\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[1)\ Пусть\ \angle 1 + \angle 2 = \beta;\ \ \ \ \]
\[\angle 5 + \angle 4 = \gamma.\]
\[2)\ В\ треугольнике\ ABC:\]
\[\angle A + \angle B + \angle C = 180{^\circ}\ \]
\[(по\ теореме\ о\ сумме\ углов).\]
\[3)\ По\ свойству\ смежных\ углов:\ \]
\[\angle B = 180{^\circ} - \beta\ и\ \]
\[\angle C = 180{^\circ} - \gamma.\]
\[4)\ \angle A + 180{^\circ} - \beta + 180{^\circ} - \gamma =\]
\[= 180{^\circ}:\]
\[\angle A =\]
\[= 180{^\circ} - 180{^\circ} + \beta - 180{^\circ} + \gamma =\]
\[= \beta + \gamma - 180{^\circ};\]
\[\alpha = \beta - 180{^\circ} + \gamma \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \alpha + 180{^\circ} = \beta + \gamma.\]
\[5)\ \angle 1 + \angle 2 = \frac{\beta}{2}\ \]
\[(BO - биссектриса);\]
\[\angle 5 + \angle 4 = \frac{\gamma}{2}\ \]
\[(OC - биссектриса).\]
\[6)\ \angle 1 = \angle 3\ \]
\[(как\ вертикальные) \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \angle 3 = \frac{\beta}{2};\]
\[\angle 5 = \angle 6\ \]
\[(как\ вертикальные) \Longrightarrow \ \angle 6 = \frac{\gamma}{2}.\]
\[7)\ По\ теореме\ о\ сумме\ углов\ \]
\[в\ треугольнике:\]
\[\angle 6 + \angle 3 + \angle BOC = 180{^\circ}.\]
\[8)\ \angle BOC = 180{^\circ} - \angle 6 - \angle 3 =\]
\[= 180{^\circ} - \frac{\beta}{2} - \frac{\gamma}{2} =\]
\[= 180{^\circ} - \frac{1}{2}(\beta + \gamma) =\]
\[= 180{^\circ} - \frac{1}{2}(\alpha + 180{^\circ}) =\]
\[= 180{^\circ} - \frac{1}{2}\alpha - 90{^\circ} =\]
\[= 90{^\circ} - \frac{1}{2}\text{α.}\]
\[\mathbf{Ответ:\ }\angle BOC = 90{^\circ} - \frac{1}{2}\text{α.}\]
