Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 334
Задание 334
\[\boxed{\mathbf{334.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[AM_{1},BM_{2},CM_{3} - биссектрисы;\]
\[QR\bot AM_{1};\]
\[QP\bot BM_{2};\]
\[RP\bot CM_{3}.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\mathrm{\Delta}AQB\sim\mathrm{\Delta}BPC\sim\mathrm{\Delta}ARC.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ \angle M_{1}AC = \angle BAM_{1} = \frac{1}{2}\angle BAC\ \]
\[\left( так\ как\ AM_{1} - биссектриса \right):\]
\[\angle CAR = \angle BAQ = 90{^\circ} - \frac{1}{2}\angle BAC.\]
\[2)\ \angle BCM_{3} = \angle ACM_{3} = \frac{1}{2}\angle BCA\ \]
\[\left( так\ как\ CM_{3} - биссектриса \right):\]
\[\angle BCP = \angle ACR = 90{^\circ} - \frac{1}{2}\angle BCA.\]
\[3)\ \angle ABM_{2} = \angle M_{2}BC = \frac{1}{2}\angle ABC\ \]
\[\left( так\ как\ BM_{2} - биссектриса \right):\]
\[\angle QBA = \angle CBP = 90{^\circ} - \frac{1}{2}\angle ABC.\]
\[4)\ \angle BPC =\]
\[= 180{^\circ} - \angle PBC - \angle PCB =\]
\[= \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle BCA) =\]
\[= \frac{1}{2}(180{^\circ} - \angle BAC) =\]
\[= 90{^\circ} - \frac{1}{2}\angle BAC.\]
\[5)\ \angle CRA =\]
\[= 180{^\circ} - \angle CAR - \angle ACR =\]
\[= 180{^\circ} - 90{^\circ} +\]
\[= \frac{1}{2}(\angle BAC + \angle BCA) =\]
\[= \frac{1}{2}(180{^\circ} - \angle ABC) =\]
\[= 90{^\circ} - \frac{1}{2}\angle ABC.\]
\[6)\ \angle AQB =\]
\[= 180{^\circ} - \angle QAB - \angle QBA =\]
\[= \frac{1}{2}(\angle BAC + \angle ABC) =\]
\[= \frac{1}{2}(180{^\circ} - \angle ACB) =\]
\[= 90{^\circ} - \frac{1}{2}\angle ACB.\]
\[7)\ Все\ углы\ треугольников\]
\[\mathrm{\Delta}AQB,\ \mathrm{\Delta}BPC\ и\ \mathrm{\Delta}ARC -\]
\[соответственно\ равны.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{334.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathbf{Построить:}\]
\[\mathbf{точку,\ лежащую\ внутри\ угла,\ равноудаленную\ от\ его}\]
\[\mathbf{сторон\ и\ равноудаленную\ от\ концов\ данного\ отрезка}\mathbf{.}\]
\[\mathbf{Построение.}\]
\[1)\ Построим\ серединный\ перпендикуляр\ данного\ отрезка.\]
\[2)\ Построим\ биссектрису\ данного\ угла.\]
\[3)\ Точка\ персечения\ биссектрисы\ и\ серединного\ перпендикуляра -\]
\[это\ точка\ C\ (искомая).\]
