Решебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 1415

\[\boxed{\mathbf{1415.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\ \]

\[\mathrm{\Delta}A_{1}B_{1}C_{1};\]

\[AC < BC;\]

\[A_{1}C_{1} < B_{1}C_{1};\]

\[AC = A_{1}C_{1};\]

\[BC = B_{1}C_{1};\]

\[\angle A - \angle B = \angle A_{1} - \angle B_{1}.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC = \mathrm{\Delta}A_{1}B_{1}C_{1}.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ Разделим\ отрезок\ \text{AB}\ \]

\[пополам \Longrightarrow \ AD = DB.\]

\[Построим\ перпендикуляр\ \]

\[DE\bot AB;\ E \in BC.\]

\[DE - медиана\ и\ высота\ \mathrm{\Delta}ABE:\]

\[BE = AE;\ \ \angle BAE = \angle B;\ \]

\[\angle EAC = \angle A - \angle B.\]

\[2)\ Аналогичное\ построение\ \]

\[во\ втором\ треугольнике:\]

\[\angle EAC = \angle A - \angle B =\]

\[= \angle A_{1} - \angle B_{1} = \angle E_{1}A_{1}C_{1};\]

\[AE + EC = BC + B_{1}C_{1} =\]

\[= A_{1}E_{1} + E_{1}c_{1}.\]

3) \(Совместим\ отрезки\ \)

\[\text{AC\ }и\ A_{1}C_{1}\text{.\ }\]

\[При\ равном\ угле\ \angle EAC =\]

\[= \angle E_{1}A_{1}C_{1}\ сумма\ двух\ сторон\ \]

\[разобьется\ на\ равные\ отрезки:\ \]

\[AE = A_{1}E_{1};\ \]

\[EC = E_{1}C_{1}.\]

4) \(\mathrm{\Delta}AEC = \mathrm{\Delta}A_{1}E_{1}C_{1} - по\ трем\ \)

\[сторонам \Longrightarrow существует\ \]

\[наложение\ f:\]

\[\mathrm{\Delta}AEC\overset{f}{\rightarrow}\mathrm{\Delta}A_{1}E_{1}C_{1}.\]

\[\text{BC\ }и\ B_{1}C_{1}\ совпадут,\ как\ \]

\[продолжения\ сторон\ \]

\[\text{EC\ }и\ E_{1}C_{1}.\]

5) \(При\ наложении\ \)

\[совместились\ все\ три\ \]

\[вершины:\]

\[\text{ABC}\overset{f}{\rightarrow}A_{1}B_{1}C_{1};\]

\[\mathrm{\Delta}ABC = \mathrm{\Delta}A_{1}B_{1}C_{1}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]