Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 1399
Задание 1399
\[\boxed{\mathbf{1399.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Рисунок\ к\ задаче:422.}\]
\[Дано:\]
\[правильный\ 10 - угольник;\ \]
\[AC - биссектриса\ \angle OAB;\]
\[O(O;\ R) - описанная\ \]
\[окружность.\]
\[\textbf{а)}\ Доказать:\ \]
\[\mathrm{\Delta}ABC\sim\mathrm{\Delta}OAB.\]
\[Доказательство.\]
\[\mathrm{\Delta}OAB - равнобедренный,\ \]
\[с\ основанием\ AB:\]
\[OA = OB = R.\]
\[Угол\ при\ вершине:\ \]
\[\angle AOB = \frac{360{^\circ}}{10} = 36{^\circ}.\ \]
\[Углы\ при\ основаниях:\]
\[\angle BAO = \angle ABO =\]
\[= \frac{180{^\circ} - \angle AOB}{2} =\]
\[= \frac{180{^\circ} - 36{^\circ}}{2} = 72{^\circ};\]
\[\angle BAC = \angle CAO = \frac{1}{2}\angle BAO =\]
\[= \frac{1}{2} \cdot 72{^\circ} = 36{^\circ}.\]
\[В\ \mathrm{\Delta}CAO:\]
\[\angle CAO = \angle COA = 36{^\circ};\]
\[\angle ACB = 2 \cdot 36{^\circ} = 72{^\circ}.\]
\[В\ \mathrm{\Delta}ABC:\]
\[\angle BAC = 36{^\circ};\]
\[\angle ACB = 72{^\circ};\ \]
\[\angle ABC = 180{^\circ} - (36{^\circ} + 72{^\circ}) =\]
\[= 72{^\circ}.\]
\[\left. \ \begin{matrix} \angle ABC = \angle OAB = 72{^\circ} \\ \angle BAC = \angle AOB = 36{^\circ} \\ \end{matrix} \right\} \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \mathrm{\Delta}ABC\sim\mathrm{\Delta}OAB -\]
\[по\ двум\ углам.\ \]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\textbf{б)}\ Доказать:\]
\[AB = AC = OC = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}\text{R.}\]
\[Доказательство.\]
\[\mathrm{\Delta}ABC - равнобедренный \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow AB = AC.\]
\[\mathrm{\Delta}ACO - равнобедренный\ \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \ AC = OC.\]
\[По\ свойству\ биссектрисы:\]
\[\frac{\text{AB}}{\text{AO}} = \frac{\text{BC}}{\text{CO}}.\]
\[Пусть\ AB = x;\ AO = R:\]
\[BC = R - x;\ \]
\[CO = x.\]
\[\frac{x}{R} = \frac{R - x}{x}\ \]
\[x^{2} = R^{2} - Rx\]
\[x^{2}Rx - R^{2} = 0\]
\[D = R^{2} + 4R^{2} = 5R^{2}\]
\[x = \frac{- R \pm \sqrt{5R}}{2}\ (x > 0);\]
\[x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}\text{R.\ }\]
\[AB = AC = OC = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}\text{R.}\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
