Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 1286
Задание 1286
\[\boxed{\mathbf{1286.ОК\ ГДЗ - домашка\ н}а\ 5}\]
\[Рисунки\ по\ условию\ задачи:\]
\[Дано:\ \]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\ \]
\[\angle A = a;\ \]
\[\angle B = 2a;\ \]
\[\angle C = 4a;\]
\[M,\ N,\ P - середины\ сторон;\ \]
\[AA_{1},\ BB_{1},\ CC_{1} - высота.\]
\[Доказать:\]
\[B_{1},\ A_{1},\ P_{1},\ C_{1},\ M,\ N - вершины\ \]
\[правильного\ 7 - угольника.\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ \angle A + \angle B + \angle C = 180{^\circ}\]
\[\ a + 2a + 4a = 180{^\circ}.\]
\[\angle A = \frac{180{^\circ}}{7};\ \ \]
\[\angle B = 2 \cdot \frac{180{^\circ}}{7};\ \ \]
\[\angle C = 4 \cdot \frac{180{^\circ}}{7}.\]
\[2)\ Внутренний\ угол\ \]
\[правильного\ 7 - угольника:\ \]
\[\beta = 180{^\circ} - \frac{360{^\circ}}{7} = 5 \cdot \frac{180{^\circ}}{7}.\]
\[3)\ MN,\ PN,\ PM - средние\ \]
\[линии\ \mathrm{\Delta}ABC.\]
\[4)\ Четырехугольник\ BA_{1}CC_{1}\text{.\ \ \ }\]
\[\angle A_{1} = \angle C_{1} = 90^{0} \Longrightarrow вокруг\ \]
\[него\ можно\ описать\ \]
\[окружность\ диаметр\ которой -\]
\[отрезок\ BC,центр - точка\ P:\ \]
\[PB = PC_{1} = PC = PA_{1} = \frac{1}{2}BC;\]
\[\angle C_{1}PA_{1} = 2\angle C_{1}BA_{1} =\]
\[= 2\left( 90^{0} - \angle A \right) = 5 \cdot \frac{180^{0}}{7} = \beta.\]
\[MN = \frac{1}{2}BC;\ \]
\[трапеция\ C_{1}PNM -\]
\[равнобедренная.\]
\[\angle PC_{1}M = \angle NMC_{1} =\]
\[= 180^{0} - \angle B = 5 \cdot \frac{180^{0}}{7} = \beta.\]
\[5)\ Четырехугольник\ AB_{1}CC_{1}\text{.\ }\]
\[\angle B_{1} = \angle C_{1} = 90^{0} \Longrightarrow вокруг\ \]
\[него\ можно\ \ описать\ \]
\[окружность,\ диаметр\ \]
\[которой - отрезок\ \text{AC},\ \]
\[центр - точка\ \text{N.}\]
\[NC_{1} = NC = NB_{1} = NA = \frac{1}{2}\text{AC.}\]
\[PM = \frac{1}{2}\text{AC.}\]
\[\mathrm{\Delta}B_{1}C_{1}N = \mathrm{\Delta}B_{1}\text{PN\ }по\ первому\ \]
\[признаку:\]
\[PB_{1} = NB = \frac{1}{2}AC;\]
\[\mathrm{\Delta}PA_{1}B_{1} = \mathrm{\Delta}NMC_{1};\]
\[\angle PA_{1}B_{1} = \beta;\]
\[A_{1}B_{1} = PA_{1} = \frac{1}{2}\text{BC.}\]
\[Таким\ образом,\ все\ отрезки,\ \]
\[последовательно\ соединяющие\ \]
\[исследуемые\ шесть\ точек,\ \]
\[равны\ \frac{\text{BC}}{2}.\ \]
\[Четыре\ угла\ между\ отрезками\ \]
\[равны\ внутреннему\ углу\ \]
\[правильного\ 7 - угольника:\ \]
\[5 \cdot 180^{0}\text{\ .\ }\]
\[Диагонали:\ \]
\[PB_{1} = BN = NC = PM = \frac{1}{2}\text{AC.}\]
\[Значит,\ исследуемые\ точки\ \]
\[являются\ шестью\ вершинами\ \]
\[из\ семи\ вершин\ правильного\ \]
\[7 - угольника.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
