Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 1270
Задание 1270
\[\boxed{\mathbf{1270.ОК\ ГДЗ - домашка\ н}а\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - четырехугольник;\]
\[AC \cap BD = O;\]
\[S_{\text{ODC}} = \sqrt{S_{\text{OBC}} \bullet S_{\text{OAD}}}.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[ABCD - трапеция\ или\ \]
\[параллелограмм.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Пусть\ OA = a;\ OB = b;\ \]
\[OC = c;\ OD = d;\ \angle COD = a.\]
\[2)\ S_{\text{ODC}} = \frac{1}{2}OC \cdot OD \cdot sina =\]
\[= \frac{\text{cd}}{2}\text{sina.\ }\]
\[3)\ S_{\text{OBC}} =\]
\[= \frac{1}{2}OB \cdot OC \cdot \sin\left( 180^{0} - a \right) =\]
\[= \frac{\text{bc}}{2}\text{sina.}\]
\[4)\ S_{\text{ODC}} = \sqrt{S_{\text{OBC}} \cdot S_{\text{OAD}}} \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow S_{\text{ODC}}^{2} = S_{\text{OBC}} \cdot S_{\text{OAD}}.\]
\[5)\left( \frac{\text{cd}}{2}\text{sina} \right)^{2} = \frac{\text{bc}}{2}sina \cdot \frac{\text{ad}}{2}\text{sina}\]
\[c^{2}d^{2} = bc \cdot ad\]
\[cd = ad\]
\[\frac{c}{a} = \frac{b}{d} = k.\]
\[Отсюда:\]
\[\frac{\text{OC}}{\text{OA}} = \frac{\text{OB}}{\text{OD}} = k;\ \]
\[\angle BOC = \angle DOA - как\ \]
\[вертикальные;\]
\[\mathrm{\Delta}\text{BOC}\sim\mathrm{\Delta}\text{DOA}\ \]
\((по\ второму\ признаку).\)
\[6)\ \left. \ \begin{matrix} \angle CBO = \angle ADO \\ BD - секущая \\ \end{matrix} \right\} \Longrightarrow AD||BC.\]
\[Если\ k < 1:\]
\[\ \mathrm{\Delta}BOC\sim\mathrm{\Delta}DOA;\ \]
\[BC < AD;\]
\[ABCD - трапеция.\]
\[Если\ k = 1:\]
\[\mathrm{\Delta}BOC = \mathrm{\Delta}DOA;\ \]
\[ABCD - параллелограмм.\]
\[Если\ k > 1:\]
\[\ \mathrm{\Delta}BOC\sim\mathrm{\Delta}DOA;\ \]
\[BC > AD;\ \]
\[ABCD - трапеция.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
