Решебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 1219

 

\[\boxed{\mathbf{1219.ОК\ ГДЗ - домашка\ н}а\ 5}\]

\[Доказать:\]

\[объем\ конуса\ равен\ одной\ \]

\[трети\ произведения\ \]

\[площади\ основания\ на\ высоту.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Воспользуемся\ принципом\ \]

\[Кавальери.\]

\[Рассмотрим\ конус\ и\ пирамиду\ \]

\[с\ площадями\ оснований\ S\ и\ \]

\[высотами\ PH = h\ и\ QO = h\ \]

\[соответственно,\ стоящие\ на\ \]

\[одной\ плоскости\ \alpha.\]

\[Докажем,\ что\ объем\ конуса\ \]

\[равен\frac{1}{3}\text{Sh.}\]

\[2)\ Проведем\ секущую\ \]

\[плоскость\ \beta,\ параллельную\ \]

\[плоскости\ \alpha\ и\ пересекающую\ \]

\[высоты\ \text{PH\ }и\ \text{PQ\ }в\ точках\ H_{1}\ и\ \]

\[O_{1}\ соответственно.\]

\[3)\ В\ сечении\ конуса\ \]

\[плоскостью\ \beta\ получится\ круг\ \]

\[радиуса\ H_{1}A_{1}.\]

\[Треугольники\ PH_{1}A_{1}\ и\ \text{PHA\ }\]

\[подобны\ по\ двум\ углам:\ \]

\[\angle P - общий;\]

\[\angle PH_{1}A_{1} = \angle PHA = 90{^\circ}).\]

\[Следовательно:\ \]

\[\frac{H_{1}A_{1}}{\text{HA}} = \frac{PH_{1}}{\text{PH}} \Longrightarrow H_{1}A_{1} =\]

\[= \frac{PH_{1}}{\text{PH}} \bullet HA\]

\[\ и\ площадь\ сечения\ конуса\ \]

\[равна:\]

\[\left( \pi H_{1}A_{1} \right)^{2} = \left( \frac{PH_{1}}{\text{PH}} \right)^{2} \bullet \pi HA^{2} =\]

\[= \left( \frac{PH_{1}}{\text{PH}} \right)^{2} \bullet S.\]

\[4)\ Площадь\ сечения\ \]

\[пирамиды:\ \]

\[\left( \frac{GO_{1}}{\text{GO}} \right)^{2} \bullet S.\]

\[5)\ Следовательно,\ площади\ \]

\[сечения\ пирамиды\ и\ конуса\ \]

\[равны,\ а\ объем\ равен\ \frac{1}{3}\text{Sh.}\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]