Решебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Вопросы для повторения к главе XII

Авторы:
Год:2020-2021-2022
Тип:учебник

Вопросы для повторения к главе XII

\[\boxed{\mathbf{Вопросы\ для\ повторения\ к\ главе\ }\mathbf{\text{XII}}\mathbf{.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[\boxed{\mathbf{1.}}\]

\[\boxed{\mathbf{2.}}\]

\[Для\ любого\ угла\ \alpha\ \]

\[из\ промежутка\ 0{^\circ} \leq \alpha \leq 180{^\circ}\ \]

\[синусом\ угла\ \alpha\ называется\ \]

\[ордината\ \text{y\ }точки\ M,\ а\ \]

\[косинусом\ угла\ \alpha - абсцисса\ \text{x\ }\]

\[точки\ M.\]

\[\boxed{\mathbf{3.}}\]

\[Тангенсом\ угла\ \alpha\ (\alpha \neq 90{^\circ})\ \]

\[называется\ отношение\ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}:\]

\[tg\ \alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.\]

\[При\ \alpha = 90{^\circ}\ \ tg\ \alpha\ не\ определен,\ \]

\[поскольку\cos{90{^\circ}} = 0;\]

\[знаменатель\ обращается\ в\ 0,\ а\ \]

\[на\ ноль\ делить\ нельзя.\]

\[\boxed{\mathbf{4.}}\]

\[Котангенсом\ угла\text{\ α}\]

\[\ (0{^\circ} \leq \alpha \leq 180{^\circ})называется\ \]

\[отношение\ \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}:\ \]

\[ctg\ \alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}.\]

\[При\ \alpha = 0{^\circ};\ \ a = 180{^\circ}\ \ ctg\ \alpha\ \]

\[не\ определен,\ потому\ что\ \]

\[знаменатель\ обращается\ \]

\[в\ ноль.\]

\[\boxed{\mathbf{5.}}\]

\[Основное\ тригонометрическое\ \]

\[тождество:\]

\[\text{si}n^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1.\]

\[Доказательство.\]

\[Пусть\ \alpha - угол\ между\ лучом\ \text{h\ }\]

\[и\ положительной\ полуосью\ \]

\[абсцисс.\]

\[Данная\ полуокружность\ \]

\[является\ дугой\ окружности,\ \]

\[которая\ имеет\ уравнение\ \]

\[x^{2} + y^{2} = 1\ (1).\]

\[\sin\alpha = y;\ \cos\alpha = x:\]

\[Подставим\ в\ уравнение\ (1)\ \]

\[и\ получим:\]

\[\text{si}n^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1;\]

\[которое\ выполняется\ \]

\[для\ любого\ \alpha\ из\ промежутка\ \]

\[0{^\circ} \leq \alpha \leq 180{^\circ}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\boxed{\mathbf{6.}}\]

\[Формулы\ приведения.\]

\[При\ 0{^\circ} \leq \alpha \leq 90º.\]

\[\sin{(90{^\circ} - \alpha}) = \cos\alpha;\]

\[\cos(90{^\circ} - \alpha) = \sin\alpha.\]

\[При\ 0{^\circ} \leq \alpha \leq 180{^\circ}:\]

\[\sin(180{^\circ} - \alpha) = \sin\alpha;\]

\[\cos(180{^\circ} - \alpha) = - \cos\alpha.\]

\[\boxed{\mathbf{7.}}\]

\[\mathbf{Выведем\ формулы.}\]

\[Пусть\ \ задана\ \ система\ \ \]

\[координат\ \ Oxy\ \ и\ \ дана\ \]

\[произвольная\ точка\ \text{A\ }(x;y)\]

\[с\ неотрицательной\ \]

\[ординатой\ y.\ \ \]

\[Выразим\ \ координаты\ \ точки\ \]

\[A\ \ через\ \ длину\ \ отрезка\ \ OA\ \ и\ \ \]

\[угол\ \ \alpha\ \ между\ \ лучом\ \ OA\ \ и\ \ \]

\[положительной\ \ полуосью\ Ox.\ \ \]

\[Для\ \ этого\ \ обозначим\ \ буквой\ \ \]

\[M\ \ точку\ пересечения\ \ луча\ \ \]

\[\text{OA}\ \ с\ единичной\ \ \]

\[полуокружностью.\ \ \]

\[По\ \ формулам:\]

\[координаты\ \ точки\ \ M\ \ \]

\[соответственно\ \ равны\ \ c\]

\[os\ \alpha,\ sin\ \alpha.\ \]

\[Вектор\ \overrightarrow{\text{OM}}\ имеет\ те\ же\ \]

\[координаты,\ что\ и\ точка\ M:\]

\[\overrightarrow{\text{OM}}\left\{ \cos\alpha;\sin\alpha \right\}.\]

\[Вектор\ \overrightarrow{\text{OA}}\ имеет\ те\ же\ \]

\[координаты,\ что\ и\ точка\ A:\]

\[\overrightarrow{\text{OA}}\left\{ x;y \right\}.\]

\[\overrightarrow{\text{OA}} = OA \cdot \overrightarrow{\text{OM}}:\]

\[x = OA \cdot \cos\alpha;\]

\[y = OA \cdot \sin\alpha.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\boxed{\mathbf{8.}}\]

\[Теорема:\]

\[площадь\ треугольника\ равна\ \]

\[половине\ произведения\ двух\ \]

\[его\ сторон\ на\ синус\ угла\ \]

\[между\ ними.\]

\[Дано:\]

\[⊿ABC;\]

\[BC = a;\]

\[CA = b;\]

\[S - площадь.\]

\[Доказать:\]

\[S = \frac{1}{2}ab \cdot \sin C.\]

\[Доказательство.\]

\[Введём\ \ систему\ \ координат\ \ \]

\[с\ \ началом\ \ в\ \ точке\ \ C\ \ так,\ \]

\[чтобы\ \ точка\ B\ лежала\ \ \]

\[на\ \ положительной\ \ полуоси\ \]

\[\ Cx,\ а\ \ точка\ \ A\ \ имела\ \ \]

\[положительную\ \ ординату.\ \ \]

\[Площадь\ \ данного\ \]

\[треугольника\ \ можно\ \ \]

\[вычислить\ \ по\ \ формуле:\]

\[S = \frac{1}{2}ah;\ \ h - высота\ \]

\[треугольника.\]

\[Но\ \text{h\ }равна\ ординате\ точки\ A:\]

\[h = b \cdot \sin C.\]

\[Отсюда:\ \]

\[S = \frac{1}{2}ab \cdot \sin C.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\boxed{\mathbf{9.}}\]

\[Теорема\ синусов:\]

\[стороны\ треугольника\ \]

\[пропорциональны\ синусам\ \]

\[противоположных\ сторон.\]

\[Доказательство.\]

\[Пусть\ в\ ⊿ABC\ стороны\ \]

\[обозначены:\]

\[AB = c;BC = a;CA = b.\]

\[По\ теореме\ о\ площади\ \]

\[треугольника:\]

\[S = \frac{1}{2}ab \cdot \sin C;\]

\[S = \frac{1}{2}bc \cdot \sin A;\]

\[S = \frac{1}{2}ac \cdot \sin B.\]

\[Из\ первых\ двух\ равенств:\]

\[\frac{1}{2}ab \cdot \sin C = \frac{1}{2}bc \cdot \sin A\]

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}.\]

\[Аналогично\ из\ второго\ \]

\[и\ третьего\ равенства:\]

\[\frac{1}{2}bc \cdot \sin A = \frac{1}{2}ac \cdot \sin B\]

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}.\]

\[Отсюда:\]

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\boxed{\mathbf{10.}}\]

\[\mathbf{Теорема\ косинусов.}\]

\[квадрат\ \ стороны\ \ \]

\[треугольника\ \ равен\ \ сумме\ \]

\[квадратов\ \ двух\ \ других\ \ \]

\[сторон\ \ минус\ \ удвоенное\ \]

\[произведение\ \ этих\ \ сторон,\ \]

\[умноженное\ на\ косинус\ \ угла\ \ \]

\[между\ \ ними.\]

\[Доказательство.\]

\[Пусть\ в\ ⊿ABC\ стороны\ \]

\[обозначены:\]

\[AB = c;BC = a;CA = b.\]

\[Введём\ \ систему\ \ координат\ \ \]

\[с\ \ началом\ \ в\ \ точке\ \ A.\]

\[Тогда:\]

\[B(c;0);\]

\[C\left( b \cdot \cos A;b \cdot \sin A \right).\]

\[По\ формуле\ расстояния\ \]

\[между\ двумя\ точками:\]

\[BC^{2} = a^{2} =\]

\[= \left( b \cdot \cos A - c \right)^{2} + b^{2}\sin^{2}A =\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\boxed{\mathbf{11.}}\]

\[Решением\ треугольника\ \ \]

\[называется\ нахождение\ \ всех\ \ \]

\[его\ \ шести\ \ элементов\ \ \]

\[(т.\ е.\ \ трёх\ \ сторон\ и\ \ трёх\ \ углов)\ \]

\[по\ \ каким - нибудь\ трём\ \ \]

\[данным\ \ элементам,\ \]

\[определяющим\ \ треугольник.\]

\[Три\ задачи\ на\ решение\ \]

\[треугольника.\]

\[Обозначения\ для\ сторон\ \]

\[треугольника\ ABC:\]

\[AB = c;BC = a;CA = b.\]

\[Задача\ 1.\]

\[Дано:\]

\[a;b;\]

\[\angle C.\]

\[Найти:\]

\[c;\]

\[\angle A;\ \angle B.\]

\[Решение.\]

\[1)\ По\ теореме\ косинусов:\]

\[c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2ab \cdot \cos C}.\]

\[2)\ Пользуясь\ теоремой\ \]

\[косинусов:\]

\[\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc};\]

\[\angle A\ находим\ с\ помощью\ \]

\[таблицы\ или\ калькулятора.\]

\[3)\ \angle B = 180{^\circ} - \angle A - \angle C.\]

\[Задача\ 2.\]

\[Дано:\]

\[a;\]

\[\angle B;\ \ \angle C.\]

\[Найти:\]

\[\angle A;\]

\[b;c.\]

\[Решение.\]

\[1)\ \angle A = 180{^\circ} - \angle B - \angle C.\]

\[2)\ С\ помощью\ теоремы\ \]

\[синусов\ вычислить:\]

\[b = a \cdot \frac{\sin B}{\sin A};\ \ \ \]

\[c = a \cdot \frac{\sin C}{\sin A}.\]

\[Задача\ 3.\]

\[Дано:\]

\[a;b;c.\]

\[Найти:\]

\[\angle A;\ \angle B;\ \angle C.\]

\[Решение.\]

\[1)\ По\ теореме\ косинусов:\]

\[\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}.\]

\[\angle A\ находим\ с\ помощью\ \]

\[таблицы\ или\ калькулятора.\]

\[2)\ Аналогично\ находим\ \angle B.\]

\[3)\ \angle C = 180{^\circ} - \angle A - \angle B.\]

\[\boxed{\mathbf{12.}}\]

\[Определить\ высоту\ предмета,\ \]

\[основание\ которого\ \]

\[недоступно.\]

\[Решение.\]

\[AH - высота\ предмета.\]

\[Если\ \ основание\ \ предмета\ \ \]

\[недоступно,\ то\ можно\ \ \]

\[поступить\ \ так:\ \ \]

\[на\ \ прямой,\ проходящей\ через\ \ \]

\[основание\ \ H\ \ предмета,\ \]

\[отметим\ \ две\ точки\ \ B\ \ и\ \ C\ \ \]

\[на\ \ определённом\ \ расстоянии\ \]

\[\ a\ \ друг\ \ от\ друга\ \ и\ \ измерим\ \ \]

\[углы\ \ ABH\ \ и\ \ ACB:\ \]

\[\angle ABH = \alpha;\ \ \ \angle ACB = \beta.\]

\[\angle ABH - внешний\ угол\ \]

\[треугольника\ ABC:\]

\[\angle A = \alpha - \beta.\]

\[По\ теореме\ синусов:\]

\[AB = \frac{a \cdot \sin\beta}{\sin(\alpha - \beta)}.\]

\[⊿ABH - прямоугольный:\]

\[AH = AB \cdot \sin\alpha.\]

\[Тогда:\]

\[AH = \frac{a \cdot \sin\alpha \cdot \sin\beta}{\sin(\alpha + \beta)}.\]

\[\boxed{\mathbf{13.}}\]

\[\mathbf{Измерение\ расстояния\ }\]

\[\mathbf{до\ недоступной\ точки.}\]

\[Решение.\]

\[На\ \ местности\ \ выберем\ \ точку\ \ \]

\[В\ \ и\ измерим\ \ длину\ \ с\ \ отрезка\ \ \]

\[\text{AB.\ \ }\]

\[Затем\ \ измерим,\ например,\ \]

\[с\ \ помощью\ \ астролябии,\ \]

\[углы\ \ A\ \ и\ \ B:\]

\[\angle A = \alpha;\ \ \angle B = \beta.\]

\[Данные\ (c;\alpha;\beta)\ позволяют\ \]

\[решить\ ⊿ABC\ и\ найти\ \]

\[искомое\ расстояние\]

\[d = AC.\]

\[Найдем\ угол\ C:\]

\[\angle C = 180{^\circ} - \alpha - \beta;\]

\[\sin C = \sin(180{^\circ} - \alpha - \beta) =\]

\[= \sin(\alpha + \beta).\]

\[По\ теореме\ синусов:\]

\[\frac{\text{AC}}{\sin B} = \frac{\text{AB}}{\sin C}.\]

\[AC = d;\ \ AB = c;\ \ \angle B = \beta:\]

\[d = \frac{c \cdot \sin\beta}{\sin(\alpha + \beta)}.\]

\[\boxed{\mathbf{14.}}\]

\[Пусть\ \overrightarrow{}\ и\ \overrightarrow{} - два\ данных\ \]

\[вектора.\]

\[Отложим\ от\ произвольной\ \]

\[точки\ O\ векторы\ \overrightarrow{\text{OA}} = \overrightarrow{a}\ и\ \]

\[\overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{b}.\]

\[Если\ векторы\ \overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{b}\ \]

\[не\ являются\ \]

\[сонаправленными,\ то\ \]

\[лучи\ OA\ и\ \text{OB}\ образуют\ \angle AOB.\]

\[Градусную\ меру\ этого\ угла\ \]

\[обозначим\ буквой\ \alpha\ и\ будем\ \]

\[говорить,\ что\ угол\ между\ \]

\[векторами\ \overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{b}\ равен\ \alpha.\]

\[Если\ векторы\ сонаправлены\ \]

\[или\ нулевые,\ то\ угол\ между\ \]

\[ними\ равен\ 0{^\circ}.\]

\[\boxed{\mathbf{15.}}\]

\[Два\ вектора\ называются\ \]

\[перпендикулярными,\ если\ \]

\[угол\ между\ ними\ равен\ 90{^\circ}.\]

\[\boxed{\mathbf{16.}}\]

\[\mathbf{Скалярным\ \ произведением\ \ }\]

\[\mathbf{двух\ \ векторов\ называется\ \ }\]

\[\mathbf{произведение\ }\mathbf{их\ \ длин\ \ }\]

\[\mathbf{на\ \ косинус\ угла\ \ между\ \ ними}\mathbf{.}\]

\[\boxed{\mathbf{17.}}\]

\[\textbf{а)}\ только\ тогда,\ когда\ векторы\ \]

\[перпендикулярны;\ \]

\[\textbf{б)}\ при\ \angle\overrightarrow{a}\overrightarrow{b} < 90{^\circ};\]

\[\textbf{в)}\ при\ \angle\overrightarrow{a}\overrightarrow{b} > 90{^\circ}.\]

\[\boxed{\mathbf{18.}}\]

\[Выведем\ формулу:\]

\[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}.\]

\[Пусть\ \overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{b} - ненулевые\ \]

\[векторы.\]

\[Отложим\ от\ точки\ \text{O\ }векторы\]

\[\ \overrightarrow{\text{OA}} = \overrightarrow{a};\ \ \overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{b}.\]

\[По\ теореме\ косинусов:\]

\[AB^{2} = OA^{2} + OB^{2} - 2OA \cdot OB \cdot \cos\alpha.\]

\[Это\ равенство\ верно\ для\ \]

\[коллинеарных\ и\ \]

\[не\ коллинеарных\ векторов.\]

\[\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a};\ \ \ \overrightarrow{\text{OA}} = \overrightarrow{a};\ \ \overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{b}:\]

\[\left| \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right|^{2} = \left| \overrightarrow{a} \right|^{2} + \left| \overrightarrow{b} \right|^{2} - 2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}.\]

\[Отсюда:\]

\[\left| \overrightarrow{a} \right|^{2} = x_{1}^{2} + y_{1}^{2};\]

\[\left| \overrightarrow{b} \right|^{2} = x_{2}^{2} + y_{2}^{2};\]

\[\left| \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} \right|^{2} =\]

\[= \left( x_{2} - x_{1} \right)^{2} + \left( y_{2} - y_{1} \right)^{2}.\]

\[Подставим\ это\ выражение\ \]

\[в\ правую\ часть\ равенства\ (4);\]

\[преобразуем:\]

\[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}.\]

\[\boxed{\mathbf{19.}}\]

\[Ненулевые\ векторы\ \overrightarrow{a}\left\{ x_{1};y_{1} \right\}\ \]

\[и\ \overrightarrow{b}\left\{ x_{2};y_{2} \right\}\ перпендикулярны\ \]

\[тогда\ и\ только\ тогда,\ когда\ \]

\[x_{1}x_{1} + y_{1}y_{2} = 0.\]

\[\boxed{\mathbf{20.}}\]

\[Косинус\ угла\ \alpha\ между\ \]

\[ненулевыми\ векторами\ \]

\[\overrightarrow{a}\left\{ x_{1};y_{1} \right\}\ и\ \overrightarrow{b}\left\{ x_{2};y_{2} \right\}\]

\[выражается\ формулой:\]

\[\cos\alpha = \frac{x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}} \cdot \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}}.\]

\[Так\ как\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} \right| \cdot \left| \overrightarrow{b} \right| \cdot \cos\alpha:\]

\[\cos\alpha = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} \right| \cdot \left| \overrightarrow{b} \right|}.\]

\[Подставим\ сюда\ выражения\ \]

\[\left( через\ координаты\ векторов\ \overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{b} \right):\]

\[\overrightarrow{a}\left\{ x_{1}y_{1} \right\};\ \ \overrightarrow{b}\left\{ x_{2};y_{2} \right\}.\]

\[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2};\]

\[\left| \overrightarrow{a} \right| = \sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}};\]

\[\left| \overrightarrow{b} \right| = \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}.\]

\[Получим\ формулу:\]

\[\cos\alpha = \frac{x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}} \cdot \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}}.\]

\[\boxed{\mathbf{21.}}\]

\[Свойства\ скалярного\ \]

\[произведения\ векторов.\]

\[Для\ любых\ векторов\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}\ \ и\ \]

\[любого\ числа\ k\ справедливы\ \]

\[отношения:\]

\[1^{0}\text{.\ \ }{\overrightarrow{a}}^{2} \geq 0;\ \ {\overrightarrow{a}}^{2} > 0\ \ при\ \overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0};\]

\[2^{0}\text{.\ }\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a} -\]

\[переместительный\ закон;\]

\[3^{0}\text{.\ }\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right) \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} + \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} -\]

\[распределительный\ закон.\]

\[4^{0}\text{.\ }\left( k\overrightarrow{a} \right) \cdot \overrightarrow{b} = k \cdot \left( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \right) -\]

\[сочетательный\ закон.\]

\[Доказательство.\]

\[Утверждение\ 1.\]

\[Следует\ из\ формулы\ \]

\[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} = \left| \overrightarrow{a} \right|^{2}.\]

\[Утверждение\ 2.\]

\[Следует\ из\ определения\ \]

\[скалярного\ произведения.\]

\[Для\ утверждений\ 3\ и\ 4\ введем\ \]

\[прямоугольную\ систему\ \]

\[координат,обозначим:\]

\[\overrightarrow{a}\left\{ x_{1};y_{1} \right\};\ \ \overrightarrow{b}\left\{ x_{2};y_{2} \right\};\ \ \overrightarrow{c}\left\{ x_{3};y_{3} \right\}\]

\[Утверждение\ 3.\]

\[Используя\ формулу\]

\[\text{\ \ }\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}\ получаем:\]

\[Утверждение\ 4.\]

\[Вектор\ k\overrightarrow{a}\ имеет\ координаты\]

\[\ \left\{ kx_{1};ky_{1} \right\}:\]

\[\left( k\overrightarrow{a} \right) \cdot \overrightarrow{b} = \left( kx_{1} \right)x_{2} + \left( ky_{1} \right)y_{2} =\]

\[= k\left( x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} \right) = k\left( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \right).\]

\[\boxed{\mathbf{22.}}\]

\[Дано:\ \]

\[\mathrm{\Delta}ABC - равнобедренный;\]

\[\text{BN\ }и\ CK - медианы.\]

\[Доказать:\]

\[BN = CK.\]

\[Доказательство:\]

\[4BN^{2} = 4CK^{2}.\]

\[Значит:\ \]

\[CK = BN.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать\text{.\ }\]

Скачать ответ
Есть ошибка? Сообщи нам!

Решебники по другим предметам