Решебник по геометрии 8 класс Мерзляк Задание 157

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[ABCD - прямоугольник;\]

\[AD = 9\ см;\]

\[\angle BDA = 30{^\circ};\]

\[AMCK - ромб.\]

\[Найти:\]

\[\text{AM.}\]

\[Решение.\]

\[1)\ ABCD - прямоугольник:\]

\[AO = OD = \frac{1}{2}\text{AC.}\]

\[2)\ \mathrm{\Delta}AOD - \ равнобедренный:\]

\[\angle OAD = \angle ODA = 30{^\circ}.\]

\[3)\ AMCK - ромб:\]

\[MK = 2OK;\]

\[MK\bot AC;\]

\[AM = AK.\]

\[AC - биссектриса\ \angle A;\]

\[\angle MAK = 2\angle CAD = 60{^\circ}.\]

\[4)\ \mathrm{\Delta}MAK - равносторонний:\]

\[AK = MK = 2OK;\]

\[\angle AKM = 60{^\circ}.\]

\[5)\ В\ \mathrm{\Delta}AKO:\]

\[\angle DKO = 180{^\circ} - \angle AKO = 120{^\circ};\]

\[\angle DKO + \angle ODK + \angle DOK = 180{^\circ}\]

\[120{^\circ} + 30{^\circ} + \angle DOK = 180{^\circ}\]

\[\angle DOK = 30{^\circ}.\]

\[\mathrm{\Delta}DKO - равнобедренный:\]

\[OK = DK.\]

\[6)\ AD = AK + KD = AK + OK\]

\[AD = 2OK + OK = 3OK\]

\[3OK = 9\ \ \ \]

\[OK = 3\ см.\]

\[AK = 2 \bullet 3 = 6\ см.\]

\[Ответ:\ \ 6\ см.\]