Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 8 класс Мерзляк Проверь себя №1
Проверь себя №1
1
\[Соседние\ вершины\ идут\ подряд:\ \ \]
\[\text{QMNP.}\]
\[\mathbf{Ответ:\ \ Б.}\]
2
\[Сумма\ углов\ четырехугольника\ ABCD:\]
\[\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360{^\circ};\]
\[\angle A = \angle B = 90{^\circ};\ \ \ \]
\[\angle C < 90{^\circ};\ \ \ \]
\[\angle D > 90{^\circ};\]
\[\angle A + \angle B = 180{^\circ};\ \ \ \]
\[\angle C + \angle D = 180{^\circ}.\]
\[\mathbf{Ответ:\ \ }\mathbf{Г}\mathbf{.}\]
3
\[Схематический\ рисунок.\]
\[AB = BC = BD;\]
\[AD = CD = BD.\]
\[Решение.\]
\[1)\ ABCD - ромб:\]
\[AB = BC = CD = AD.\]
\[Отсюда:\]
\[\angle A = \angle C;\ \ \ \]
\[\angle B = \angle D;\]
\[\angle A + \angle B = 180{^\circ}.\]
\[2)\ \mathrm{\Delta}ABD - равносторонний:\]
\[\angle A = 60{^\circ};\ \ \]
\[\angle B = 180{^\circ} - \angle A = 120{^\circ};\]
\[\angle C = \angle A = 60{^\circ};\ \ \ \]
\[\angle D = \angle B = 120{^\circ}.\]
\[Ответ:\ \ А.\]
4
\[Схематический\ рисунок.\]
\[AM - биссектриса\ \angle A;\]
\[BM = CM;\]
\[P_{\text{ABCD}} = 30\ см.\]
\[Решение.\]
\[1)\ ABCD - параллелограмм:\]
\[AB = CD;\ \ \]
\[BC = AD;\]
\[AD \parallel BC.\]
\[2)\ Для\ \text{AD\ }и\ \text{BC\ }и\ секущей\ AM:\]
\[\angle BMA = \angle DAM = \angle BAM.\]
\[3)\ \mathrm{\Delta}ABM - \ равнобедренный:\]
\[AB = BM.\]
\[4)\ В\ ABCD:\]
\[BC = 2BM = 2AB;\]
\[P_{\text{ABCD}} = AB + BC + CD + AD\]
\[AB + BC + AB + BC = 30\]
\[2AB + 2BC = 30\ \ \ \]
\[AB + BC = 15\]
\[AB + 2AB = 15\ \ \ \]
\[3AB = 15\]
\[AB = 5\ см.\text{\ \ \ }\]
\[BC = 2 \bullet 5 = 10\ см.\]
\[Ответ:\ \ А.\]
5
\[\mathbf{Четырехугольник\ является\ }\]
\[\mathbf{параллелограммом,\ если}\]
\[\mathbf{диагонали\ делят\ его\ на\ равные\ }\]
\[\mathbf{треугольники}\mathbf{.}\]
\[\mathrm{\Delta}BAD = \mathrm{\Delta}BCD:\ \ \]
\[BD - общая\ сторона;\ \ \ \]
\[\angle A = \angle C.\]
\[\mathrm{\Delta}ABC = \mathrm{\Delta}ADC:\ \ \]
\[AC - общая\ сторона;\ \ \ \]
\[\angle B = \angle D.\]
\[Значит:\]
\[ABCD - параллелограмм.\]
\[Ответ:\ \ В.\]
6
\[Параллелограмм,\ у\ которого\ \]
\[все\ углы\ прямые,\ а\ диагонали\]
\[равны\ является\ квадратом\ (под\ \]
\[данное\ описание\ подходит\ \]
\[любой\ прямоугольник).\]
\[\mathbf{Ответ:\ \ }\mathbf{В}\mathbf{.}\]
7
\[Схематический\ рисунок.\]
\[Дано:\]
\[MN = \frac{1}{2}AC;\]
\[\angle BNM = \angle BCA.\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ Для\ MN\ и\ \text{AC\ }и\ секущей\ BC:\]
\[\angle BNM = \angle BCA;\ \ \ \]
\[MN \parallel AC.\]
\[2)\ В\ \mathrm{\Delta}ABC:\]
\[BN = CN,\ \ \ BM = AM;\]
\[MN - средняя\ линия.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\(\mathbf{Ответ}\mathbf{:\ \ Г.}\)
8
\[Схематический\ рисунок.\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ ABCD - трапеция:\]
\[AD \parallel BC;\ \ \ \]
\[\angle A + \angle B = 180{^\circ}.\]
\[2)\ Для\ \text{AB\ }и\ \text{CD\ }и\ секущей\ AB:\]
\[\angle B + \angle C = \angle B + \angle A = 180{^\circ};\]
\[\angle A = \angle C;\ \ \ \]
\[AB \parallel CD.\]
\[3)\ ABCD - параллелограмм:\]
\[AB \parallel CD;\ \ \ \]
\[AD \parallel BC.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\mathbf{Ответ}\mathbf{:\ \ }\mathbf{А}\mathbf{.}\]
9
\[Вписанные\ углы\ одной\ \]
\[окружности\ равны,\ если\ они\ \]
\[опираются\ на\ одну\ дугу\ \]
\[(следствие\ 1\ из\ теоремы\ 9.1).\]
\[Ответ:\ \ В.\]
10
\[Схематический\ рисунок.\]
\[Дано:\]
\[CDEF - вписанный;\]
\[\angle CDF = 80{^\circ};\]
\[\angle DEC = 30{^\circ}.\]
\[Решение.\]
\[1)\ \angle CDF = \frac{1}{2} \cup CF = \angle CEF;\]
\[\angle CEF = \angle CDF = 80{^\circ}.\]
\[2)\ CDEF - четырехугольник:\]
\[\angle DEF = \angle CEF + \angle DEC;\]
\[\angle DEF = 80{^\circ} + 30{^\circ} = 110{^\circ};\]
\[\angle DCF + \angle DEF = 180{^\circ}\]
\[\angle DCF + 110{^\circ} = 180{^\circ}\]
\[\angle DCF = 70{^\circ}.\]
\[\mathbf{Ответ}\mathbf{:\ \ }\mathbf{В}\mathbf{.}\]
