\[\boxed{\mathbf{890.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - четырехугольник;\]
\[AC\bot BD.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[AB^{2} + CD^{2} = AD^{2} + BC^{2} =\]
\[= (2R)^{2}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Отметим\ точку\ пересечения\ \]
\[E = AC \cap BD.\]
\[2)\ По\ теореме\ Пифагора:\]
\[AB^{2} + CD^{2} =\]
\[= AE^{2} + BE^{2} + DE^{2} + CE^{2};\]
\[AD^{2} + BC^{2} =\]
\[= AE^{2} + DE^{2} + BE^{2} + CE^{2}.\]
\[3)\ Проведем\ диаметр\ AA^{'}.\]
\[4)\ \mathrm{\Delta}\text{AB}A^{'}и\ \mathrm{\Delta}ADA^{'} -\]
\[прямоугольные,\ так\ как\ \]
\[опираются\ на\ диаметр:\ \]
\[\angle DBA^{'} = 90{^\circ} - \angle ABD =\]
\[= 90{^\circ} - ACD = \angle CDB.\]
\[5)\ \mathrm{\Delta}DBC = \mathrm{\Delta}BDA^{'} - по\ второму\ \]
\[признаку:\]
\[\angle DCB = \angle BA^{'}D = \frac{1}{2} \cup DB;\ \]
\[\angle CDB = \angle DBA^{'};\]
\[\angle DBC = \angle BDA^{'};\ \]
\[DB - общая\ сторона.\]
\[Отсюда:\]
\[BA^{'} = CD.\]
\[6)\ В\ треугольнике\text{\ AB}A^{'}:\]
\[\left( AA^{'} \right)^{2} = AB^{2} + \left( BA^{'} \right)^{2} =\]
\[= AB^{2} + CD^{2} = 2R.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{890.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[Доказательство.\]
\[Проведем\ через\ точку\ \]
\[\text{C\ }прямую,\ \parallel AB;\]
\[D - точка\ ее\ пересечения\ \]
\[с\ прямой\ C_{1}B_{1}.\]
\[⊿AC_{1}B_{1}\ подобен\ ⊿CDB_{1}:\]
\[\frac{AC_{1}}{AB_{1}} = \frac{\text{CD}}{CB_{1}}.\]
\[⊿C_{1}BA_{1}\ подобен\ ⊿A_{1}DC:\]
\[\frac{BA_{1}}{BC_{1}} = \frac{A_{1}C}{\text{CD}}.\]
\[Перемножив\ равенства,\ \]
\[получим:\]
\[\frac{AC_{1}}{AB_{1}} \cdot \frac{BA_{1}}{BC_{1}} = \frac{\text{CD}}{CB_{1}} \cdot \frac{A_{1}C}{\text{CD}}\]
\[\frac{AC_{1}}{AB_{1}} \cdot \frac{BA_{1}}{BC_{1}} = \frac{A_{1}C}{CB_{1}}\]
\[\frac{A_{1}C}{C_{1}B} \cdot \frac{BA_{1}}{A_{1}C} \cdot \frac{CB_{1}}{B_{1}A} = 1.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]