\[\boxed{\mathbf{841.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - параллелограмм;\]
\[K = CK \cap AB;\ \]
\[M = CK \cap AD;\]
\[S_{\text{KBC}} = S_{1};\ \ \]
\[S_{\text{CDM}} = S_{2}.\]
\[\mathbf{Найти:}\]
\[S_{\text{ABCD}} - ?\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[1)\ \mathrm{\Delta}AMK\sim\mathrm{\Delta}DMC - по\ двум\ \]
\[углам:\]
\[\angle AMK =\]
\[= \angle DMC\ (как\ вертикальные\ углы);\]
\[AB \parallel CD;\ \ AD - секущая \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \angle KAM = \angle CDM - как\ \]
\[накрест\ лежащие.\]
\[2)\ k = \frac{\text{AM}}{\text{MD}} = \frac{\text{AK}}{\text{DC}};\ \frac{S_{\text{AMK}}}{S_{\text{DCM}}} = k^{2};\ \ \ \]
\[S_{\text{AMK}} = k^{2} \bullet S_{2}.\]
\[3)\ \ \mathrm{\Delta}AMK\sim\mathrm{\Delta}KBC;\]
\[так\ как\ AM \parallel BC.\ \]
\[\frac{\text{KA}}{\text{KB}} = \frac{\text{KA}}{KA + AB} = \frac{1}{1 + \frac{\text{AB}}{\text{KA}}} =\]
\[= \frac{1}{1 + \frac{1}{k}} = \frac{k}{k + 1}.\]
\[S_{\text{AMK}} = \left( \frac{k}{k + 1} \right)^{2} \bullet S_{1}.\]
\[4)\ Запишем\ уравнение:\]
\[S_{\text{AMK}} = k^{2} \bullet S_{2} = \left( \frac{k}{k + 1} \right)^{2} \bullet S_{1}\]
\[(k + 1)^{2} = \frac{S_{1}}{S_{2}}\]
\[k + 1 = \sqrt{\frac{S_{1}}{S_{2}}}\]
\[k = \sqrt{\frac{S_{1}}{S_{2\ }}} - 1.\]
\[5)\ Найдем\ площадь\ \]
\[параллелограмма:\]
\[S_{\text{ABCD}} = S_{1} - S_{\text{AMK}} + S_{2} =\]
\[= S_{1} + S_{2} - \left( \sqrt{\frac{S_{1}}{S_{2\ }}} - 1 \right)^{2} \bullet S_{2} =\]
\[= S_{1} + S_{2} - \left( \frac{S_{1}}{S_{2}} - 2\sqrt{\frac{S_{1}}{S_{2\ }}} + 1 \right) \bullet S_{2} =\]
\[= S_{1} + S_{2} - S_{1} + 2\sqrt{S_{1}S_{2}} - S_{2} =\]
\[= 2\sqrt{S_{1}S_{2}}.\]
\[Ответ:S_{\text{ABCD}} = 2\sqrt{S_{1}S_{2}}.\]
\[\boxed{\mathbf{841.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[\textbf{а)}\ MN - ось\ симметрии;\]
\[\textbf{б)}\ более\ одной\ оси\ симметрии.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC - равнобедренный.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[\textbf{а)}\ \]
\[1)\ Допустим,\ что\ \text{MN\ }\]
\[пересекает\ стороны\ \mathrm{\Delta}\text{ABC},\ но\ \]
\[не\ проходит\ \ через\ вершину.\]
\[Тогда\ треугольник\ \]
\[преображается\ в\ невыпуклый\ \]
\[многоугольник.\]
\[2)\ Допустим,\ что\ \text{MN\ }проходит\ \]
\[через\ 2\ вершины\ и\ содержит\ \]
\[одну\ из\ сторон.\ \]
\[Тогда\ \mathrm{\Delta}\ не\ отображается\ сам\]
\[\ в\ себя.\]
\[3)\ Следовательно,\ MN - ось\ \]
\[симметрии,\ должна\ проходить\ \]
\[через\ \ вершину\ и\ пересекать\ \]
\[противоположную\ сторону\ \]
\[треугольника.\]
\[4)\ Допустим,\ что\ \text{MN\ }проходит\ \]
\[через\ вершину\ B\ и\ пересекает\ \ \]
\[сторону\ \text{AC}:\]
\[B \rightarrow B_{1} = B;\ \ A \rightarrow A_{1} = A;\ \ \]
\[\ C \rightarrow C_{1} = C.\]
\[5)\ По\ определению\ осевой\ \]
\[симметрии:\]
\[MN - серединный\ \]
\[перпендикуляр\ к\ AC;\]
\[отметим\ точку\ пересечения\]
\[\ (O)\ и\ получим:\]
\[BO\bot AC;AO = OC.\ \]
\[Следовательно:\]
\[BO - высота\ и\ медиана;\ \]
\[\ \mathrm{\Delta}ABC - равнобедренный,\]
\[\ с\ основанием\ \text{AC.}\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\textbf{б)}\ \]
\[Мы\ доказали\ в\ а),\ что\ ось\ \]
\[симметрии\ треугольника\ \]
\[проходит\ \ через\ одну\ из\ его\ \]
\[вершин,\ стороны\ в\ этом\ \]
\[случае\ равны,\ а\ треугольник -\]
\[равнобедренный.\]
\[1)\ Допустим,\ что\ \mathrm{\Delta}\text{ABC\ }имеет\ \]
\[не\ одну,\ а\ две\ оси\ симметрии,\]
\[\ назовем\ их\ \text{AD\ }и\ BE,\ которые\ \]
\[проходят\ через\ вершины\ \]
\[A\ и\ \text{B.}\]
\[Получаем:\]
\[AD - серединный\ \]
\[перпендикуляр;AB = AC;\]
\[BE - серединный\ \]
\[перпендикуляр;AB = BC.\]
\[Следовательно\% + :\]
\[AB = BC = AC;\]
\[\mathrm{\Delta}ABC - равносторонний.\]
\[2)\ Так\ как\ каждая\ ось\ \]
\[симметрии\ проходит\ через\ \]
\[вершину,\ то\ \ равносторонний\ \]
\[треугольник\ не\ может\ иметь\ \]
\[более\ 3\ осей\ симметрии.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]