\[\boxed{\mathbf{722.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[окружность\ (O;r) - вписана;\]
\[ABCD - четырехугольник;\]
\[AB\ :CD = 2\ :3;\]
\[AD\ :BC = 2\ :1;\]
\[S_{\text{ABCD}} = S.\]
\[\mathbf{Найти:}\]
\[AB,\ BC,CD,AD - ?\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[1)\ r = \frac{2S}{P_{\text{ABCD}}} \Longrightarrow P = \frac{2S}{r}.\]
\[2)\ По\ свойству\ вписанной\ в\ \]
\[четырехугольник\ окружности:\]
\[AB + CD = BC + AD.\]
\[Отсюда:\]
\[AB + CD = \frac{P}{2}.\]
\[3)\ AB + CD = \frac{P}{2}\ и\ P = \frac{2S}{r}:\]
\[AB + CD = BC + AD = \frac{S}{r}.\]
\[4)\ Пусть\ AB = 2x;\ CD = 3x:\]
\[2x + 3x = \frac{S}{r}\]
\[5x = \frac{S}{r}.\]
\[Отсюда:\ \]
\[AB = \frac{2S}{5r};\]
\[CD = \frac{3S}{5r}.\]
\[5)\ Пусть\ AD = 2y;\ \ BC = y:\]
\[2y + y = \frac{S}{r}\]
\[3y = \frac{S}{r}.\]
\[Отсюда:\]
\[BC = \frac{S}{3r};\]
\[AD = \frac{2S}{3r}.\]
\[\mathbf{Отве}\mathbf{т}\mathbf{:}AB = \frac{2S}{5r};CD = \frac{3S}{5r};\]
\[BC = \frac{S}{3r};AD = \frac{2S}{3r}.\]
\[\boxed{\mathbf{722.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[a - прямая;\]
\[EF \parallel AC;\]
\[AN\bot a;\]
\[BP\bot a;\]
\[\text{CM}\bot a;\ \]
\[\text{EF} \in \text{a.}\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[BP = CM = AN.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ \ \mathrm{\Delta}BPF = \mathrm{\Delta}FMC - по\ \]
\[гипотенузе\ и\ острому\ углу:\]
\[BF = FC\ (по\ условию);\ \]
\[\angle BFP = \angle MFC\ \]
\[(как\ вертикальные).\]
\[Отсюда:\ \]
\[BP = MC.\]
\[2)\mathrm{\Delta}ENA = \mathrm{\Delta}BPF - по\ \]
\[гипотенузе\ и\ острому\ углу:\]
\[EB = EA\ (по\ условию);\ \]
\[\angle BEP = \angle NEA\ \]
\[(как\ вертикальные).\]
\[Отсюда:\ \]
\[AN = BP.\]
\[3)\ BP = MC\ и\ BP = AN:\]
\[MC = AN = BP.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]