\[\boxed{\mathbf{1397.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Дано:\ \]
\[\mathrm{\Delta}ABC - остроугольный;\ \]
\[AB > BC,\ AM,\ CN - высоты;\]
\[O(O,\ R) - описанная\ \]
\[окружность;\ \]
\[\angle ABC = \beta;\ \]
\[S_{\text{NOMB}} = S.\]
\[Найти:\]
\[AC - ?\]
\[Решение.\]
\[1)\ Соотношение\ стороны\ \text{AC}\ \]
\[и\ синуса\ угла\ \beta:\ \]
\[\frac{\text{AC}}{\text{sinβ}} = 2R \Longrightarrow AC = 2R \cdot sin\beta.\]
\[Площадь\ четырехугольника\ \]
\[NOMB:\]
\[S_{\text{NOMB}} = S_{\text{OBN}} + S_{\text{OBM}}.\]
\[2)\ У\ \ треугольников\ \mathrm{\Delta}OBN\ \]
\[и\ \mathrm{\Delta}OBA\ одна\ высота \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow их\ площади\ \]
\[соотносятся\ как\ основания:\ \]
\[\frac{S_{\text{OBN}}}{S_{\text{OBA}}} = \frac{\text{NB}}{\text{AB}}\text{.\ }\]
\[Аналогично\ для\ \mathrm{\Delta}OBM\ и\]
\[\ \mathrm{\Delta}OBC:\]
\[\frac{S_{\text{OBM}}}{S_{\text{OBC}}} = \frac{\text{BM}}{\text{BC}}.\]
\[3)\ Получаем:\]
\[S_{\text{NOMB}} = \frac{\text{NB}}{\text{AB}}S_{\text{OBA}} + \frac{\text{BM}}{\text{BC}}S_{\text{OBC}};\]
\[S_{\text{OBA}} = \frac{1}{2}R^{2} \cdot sin2C,\ \ \]
\[\ S_{\text{OBC}} = \frac{1}{2}R^{2}sin2A.\]
\[4)\ \mathrm{\Delta}AMB\sim\mathrm{\Delta}CNB - по\ двум\ \]
\[углам:\]
\[\angle AMB = \angle CNB;\]
\[\angle B - общий.\]
\[\Longrightarrow \frac{\text{AB}}{\text{CB}} = \frac{\text{MB}}{\text{NB}}.\]
\[5)\ По\ теореме\ синусов:\]
\[\frac{\text{AB}}{\text{CB}} = \frac{\text{sinC}}{\text{sinA}}\]
\[BM = NB\frac{\text{sinC}}{\text{sinA}} = AB\ cos\beta\]
\[\frac{\text{NB}}{\text{AB}} = \frac{\text{sinA}}{\text{sinC}}cos\beta;\ \ \]
\[\frac{\text{BM}}{\text{BC}} = \frac{\text{AB\ cosβ}}{\text{BC}} = \frac{\text{sinC}}{\text{sinA}}\text{cosβ.}\]
\[R^{2} = \frac{2S}{sin2\beta}.\]
\[6)\ AC = 2R \cdot sin\beta =\]
\[= 2\sqrt{\frac{2S}{sin2\beta}}sin\beta =\]
\[= 2\sqrt{\frac{2Ssin^{2}\beta}{2sin\beta\ cos\beta}} = 2\sqrt{\text{Stgβ}}.\]
\[Ответ:AC = 2\sqrt{\text{Stgβ}}.\]