\[\boxed{\mathbf{1391.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - четырехугольник;\]
\[стороны\ равны:\]
\[a,b,c\ и\ \text{d.}\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[S \leq \frac{1}{2}(ac + bd).\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Пусть\ \angle AOB = a.\]
\[S = S_{\mathrm{\Delta}ABC} + S_{\mathrm{\Delta}ADC} =\]
\[= \frac{1}{2}ab \cdot \sin{B + \frac{1}{2}cd \cdot \sin D}.\]
\[2)\ 0 < \sin{a \leq 1:}\]
\[S \leq \frac{1}{2}(ab + cd).\]
\[3)\ S \leq \frac{1}{2}(ab + cd) =\]
\[= \frac{1}{2}(ac + bd - ac - bd + ab + cd) =\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]