\[\boxed{\mathbf{1387.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[окружность\ O(C,r);\]
\[M_{1} \in O;\]
\[Точка\ O \notin окружности;\]
\[M \in \left\lbrack O;M_{1} \right);\]
\[OM = k \bullet OM_{1};\]
\[k > 0.\]
\[\mathbf{Найти:}\]
\[\left\{ M \right\} - ?\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[1)\ Выберем\ СК\ так,\ что:\ \]
\[O(0;0),\ C(0;с).\]
\[2)\ Пусть\ M(x;y).\]
\[M_{1}:\]
\[x_{1}^{2} + \left( y_{1} - c \right)^{2} = r^{2}\]
\[- c \leq x_{1} \leq c;\ \]
\[y_{1} = \pm \sqrt{r^{2} - x_{1}^{2}} + c.\]
\[4)\ OM = k \cdot OM_{1}:\]
\[\left\{ \begin{matrix} x = kx_{1} \\ y = ky_{1} \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} x_{1} = \frac{x}{k} \\ y_{1} = \frac{y}{k} \\ \end{matrix} \right.\ .\]
\[5)\ \left( \frac{x}{k} \right)^{2} + \left( \frac{y}{k} - c \right)^{2} = r^{2}\]
\[x^{2} + (y - kc)^{2} = \left( \text{kr} \right)^{2}.\]
\[Окружность\ с\ центром\ (0;kc),\ \]
\[в\ k\ раз\ дальше\ от\ O,\]
\[радиусом\ kr \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow в\ \text{\ k\ }раз\ больше.\]
\[Ответ:окружность\ в\ k\ раз\ \]
\[дальше\ от\ O;\ радиусом\ в\ \]
\[k\ раз\ больше.\]