\[\boxed{\mathbf{1365.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[Множество\ всех\ таких\ точек\ \]
\[середин\ отрезков\ AM\ является\ \]
\[преобразованием\ гомотетии\ \]
\[точки\ M\ с\ центром\ в\ точке\ A\ и\ \]
\[коэффициентом\ k = \frac{1}{2}.\]
\[Центр\ расположен\ на\ прямой\ \text{OA.}\]
\[\mathbf{Значит,\ они\ образуют\ окружность\ }\]
\[\mathbf{с\ радиусом\ вдвое\ меньшим\ }\]
\[\mathbf{исходной\ окружности}\mathbf{.}\]