\[\boxed{\mathbf{1335.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Пусть\ точка\ B^{'}лежит\ \]
\[на\ прямой\ l,\ проходящей\ через\ \]
\[точку\ B\ параллельно\ AC.\ \]
\[Стороны\ треугольников\ \]
\[ABC\ и\ AB^{'}C\ высекают\ \]
\[на\ прямой,\ параллельной\ AC,\ \]
\[равные\ отрезки.\ \]
\[Поэтому\ прямоугольники\ \]
\[P^{'}R^{'}Q^{'}S^{'}и\ PRQS,\ вписанные\ в\ \]
\[треугольники\ ABC\ и\ AB^{'}\text{C\ }\]
\[соответственно,\ равны,\ если\]
\[\ точки\ R,\ Q,\ R^{'}и\ Q^{'}лежат\ на\ \]
\[одной\ прямой.\]
\[Возьмем\ точку\ B^{'}на\ прямой\ l\ \]
\[так,\ что\ \angle B^{'}AC = 90{^\circ}.\ \]
\[В\ треугольник\ AB^{'}\text{C\ }\]
\[прямоугольник\ P^{'}R^{'}Q^{'}S^{'}с\ \]
\[данной\ диагональю\ P^{'}Q^{'}\]
\[вписывается\ очевидным\ \]
\[образом\ \left( P^{'} = A \right)\text{.\ }\]
\[Проведя\ прямую\ R^{'}Q^{'},\ находим\ \]
\[вершины\ R\ и\ Q\ искомого\ \]
\[прямоугольника.\]