\[\boxed{\mathbf{1274.ОК\ ГДЗ - домашка\ н}а\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[Дано:\]
\[окружность\ O(O,\ R);\]
\[ABCD - вписанный\ \]
\[четырехугольник;\]
\[AB = a;\]
\[BC = b;\ \]
\[CD = c;\ \]
\[AD = d.\]
\[Доказать:\]
\[S =\]
\[= \sqrt{(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)}.\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ По\ свойству\ вписанного\ \]
\[четырехугольника:\ \]
\[\angle A + \angle C = 180{^\circ};\]
\[\angle B + \angle D = 180{^\circ}.\]
\[2)\ По\ теореме\ косинусов\ для\ \]
\[диагонали\ BD:\]
\[BD^{2} = a^{2} + d^{2} - 2ad\cos A;\]
\[BD^{2} = b^{2} + c^{2} - 2b\ cosA =\]
\[= b^{2} + c^{2} + 2bc\cos A.\]
\[a^{2} + d^{2} - 2ad\ cosA =\]
\[= b^{2} + c^{2} + 2bc\ cosA\]
\[2(ad + bc)cosA =\]
\[= a^{2} + d^{2} - b^{2} - c^{2}\]
\[cosA = \frac{a^{2} + d^{2} - b^{2} - c^{2}}{2(ad + bc)}.\]
\[4)\ \ P = a + b + c + d;\ \ p = \frac{P}{2}.\]
\[sinA =\]
\[= \sqrt{\frac{4(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)}{(ad + bc)^{2}}} =\]
\[= \frac{2\sqrt{(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)}}{ad + bc}.\]
\[5)\ Площадь\ ABCD:\]
\[S = S_{\mathrm{\Delta}BAD} + S_{\mathrm{\Delta}BCD} =\]
\[= \frac{1}{2}ad\ sinA + \frac{1}{2}\text{bc}\underset{= sinA}{\overset{\text{sinC}}{︸}} =\]
\[= \frac{1}{2}(ad + bc)sinA =\]
\[Следовательно:\]
\[S =\]
\[= \sqrt{(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]