\[\boxed{\mathbf{1272.ОК\ ГДЗ - домашка\ н}а\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[AA_{1} - биссектриса;\]
\[AC = b;\]
\[AB = c.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[AA_{1} = \frac{2b \bullet \cos\frac{A}{2}}{b + c}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ S_{\mathrm{\Delta}ABC} = S_{\mathrm{\Delta}ABA_{1}} + S_{\mathrm{\Delta}AA_{1}C};\]
\[2)\ \frac{1}{2}bc \cdot sinA =\]
\[= \frac{1}{2}AA_{1} \cdot csin\frac{A}{2} + \frac{1}{2}AA_{1} \cdot b \cdot \sin\frac{A}{2};\]
\[bc \cdot sinA = (b + c) \cdot AA_{1} \cdot \sin\frac{A}{2}.\]
\[3)\ AA_{1} = \frac{bc \cdot sinA}{(b + c) \cdot \sin\frac{A}{2}} =\]
\[= \frac{2bc \cdot \sin{\frac{A}{2} \cdot \cos\frac{A}{2}}}{(b + c) \cdot \sin\frac{A}{2}} = \frac{2bc\cos\frac{A}{2}}{b + c}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]