\[\boxed{\mathbf{Вопросы\ для\ повторения\ к\ главе\ }\mathbf{\text{IX}}\mathbf{.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\boxed{\mathbf{1.}}\]
\[Если\ R\ - \ радиус\ окружности\ \]
\[и\ d\ - \ расстояние\ от\ центра\ \]
\[окружности\ до\ прямой,\ \]
\[то\ возможно\ три\ варианта:\]
\[- \ если\ d\ > \ R,\ то\ у\ прямой\ и\ \]
\[окружности\ нет\ общих\ точек;\]
\[- \ если\ d\ = \ R,\ то\ у\ прямой\ и\ \]
\[окружности\ одна\ общая\ точка;\]
\[- \ если\ d\ < \ R,\ то\ прямая\ \]
\[пересекает\ окружность\ \]
\[в\ двух\ точках.\]
\[\boxed{\mathbf{2.}}\]
\[\mathbf{Из\ центра\ окружности\ }\]
\[\mathbf{провести\ отрезок\ }\left( \mathbf{= радиусу} \right)\]
\[\mathbf{к\ точке,}\mathbf{взятой\ на\ окружности}\mathbf{.}\]
\[\mathbf{Провести\ прямую,\ }\]
\[\mathbf{перпендикулярную\ радиусу -}\]
\[\mathbf{она\ и\ будет\ }\mathbf{касательной\ }\]
\[\mathbf{к\ окружности.}\]
\[\boxed{\mathbf{3.}}\]
\[\mathbf{Предположим,\ что\ две\ }\]
\[\mathbf{какие - то\ различные\ }\]
\[\mathbf{окружности\ имеют\ не\ }\mathbf{менее\ }\]
\[\mathbf{трёх\ общих\ точек.\ Если\ три\ из\ }\]
\[\mathbf{них\ лежат\ на\ одной\ прямой,\ то}\mathbf{\ }\]
\[\mathbf{серединные\ перпендикуляры\ }\]
\[\mathbf{к\ отрезкам\ с\ концами\ в\ этих\ }\]
\[\mathbf{точках\ }\mathbf{параллельны.}\mathbf{\ }\]
\[\mathbf{Значит,\ эти\ точки\ не\ могут\ }\]
\[\mathbf{принадлежать\ одной\ }\]
\[\mathbf{окружности.\ }\]
\[\mathbf{Если\ эти\ три\ точки\ не\ лежат\ }\]
\[\mathbf{на\ одной\ прямой,\ то\ }\]
\[\mathbf{окружности\ совпадут,\ }\mathbf{т.к.\ }\]
\[\mathbf{через\ три\ точки,\ не\ лежащие\ }\]
\[\mathbf{на\ одной\ прямой,\ проходит\ }\]
\[\mathbf{ровно\ одна\ окружность.\ }\]
\[\boxed{\mathbf{4.}}\]
\[Окружности\ \ с\ \ общим\ \ \]
\[центром\ \ и\ \ различными\ \ \]
\[радиусами\ \ называются\ \ \]
\[концентрическими.\ \ В\ \ этом\ \ \]
\[случае\ \ окружности\ \ не\ \ имеют\ \]
\[общих\ \ точек,\ все\ \ точки\ \ одной\ \ \]
\[из\ \ окружностей\ являются\ \ \]
\[внутренними\ \ точками\ \ \]
\[относительно\ другой.\]
\[Если\ центры\ O_{1}\ и\ O_{2}\ двух\ \]
\[окружностей\ с\ радиусом\ \text{R\ }и\ \]
\[\text{r\ }не\ совпадают;\]
\[O_{1}O_{2} = d:\]
\[1)\ при\ R - r < d < R + r;\ \]
\[\ R \geq r - окружности\ \]
\[пересекаются;\]
\[2)\ при\ d = R + r - окружности\ \]
\[касаются\ внешним\ образом;\]
\[3)\ при\ d = R - r;R > r -\]
\[окружности\ касаются\ \]
\[внутренним\ образом;\]
\[4)\ при\ d > R + r - окружности\ \]
\[не\ имеют\ общих\ точек;\]
\[окружность\ с\ центром\ O_{2}\ \]
\[расположена\ вне\ окружности\ \]
\[с\ центром\ O_{1};\]
\[5)\ при\ d < R - r;\ \ R > r -\]
\[окружности\ не\ имеют\ общих\ \]
\[точек;\]
\[окружность\ с\ центром\ O_{2}\ \]
\[равсположена\ внутри\ \]
\[окружности\ с\ центром\ O_{1}.\]
\[\boxed{\mathbf{5.}}\]
\[\mathbf{Если\ \ все\ \ точки\ \ одной\ \ }\]
\[\mathbf{окружности\ \ являются\ \ }\]
\[\mathbf{внутренними\ \ }\mathbf{относительно\ \ }\]
\[\mathbf{другой\ \ окружности,\ то\ такие\ \ }\]
\[\mathbf{окружности\ \ не\ \ имеют\ \ общих\ \ }\]
\[\mathbf{касательных}\mathbf{.}\]
\[\mathbf{В\ \ случае\ \ касания\ \ }\]
\[\mathbf{окружностей\ \ внутренним\ \ }\]
\[\mathbf{образом\ существует\ \ }\]
\[\mathbf{единственная\ \ общая\ \ }\]
\[\mathbf{касательная.\ \ }\]
\[\mathbf{Если\ \ две\ \ окружности\ \ }\]
\[\mathbf{пересекаются,\ то\ \ они\ \ имеют\ \ }\]
\[\mathbf{две\ \ общие\ }\mathbf{касательные}\mathbf{.}\]
\[\mathbf{Если\ \ окружности\ \ касаются\ \ }\]
\[\mathbf{внешним\ \ образом,\ они\ \ }\]
\[\mathbf{имеют\ \ три\ \ }\mathbf{общие\ \ }\]
\[\mathbf{касательные.}\mathbf{\ }\]
\[\mathbf{Если\ \ все\ \ точки\ \ каждой\ \ }\]
\[\mathbf{окружности\ \ являются\ }\]
\[\mathbf{внешними\ }\mathbf{относительно\ }\]
\[\mathbf{другой\ окружности,\ то\ эти\ \ }\]
\[\mathbf{окружности\ имеют\ четыре\ }\mathbf{\ }\]
\[\mathbf{общие\ касательные.}\]
\[\boxed{\mathbf{6.}}\]
\[\mathbf{Угол\ с\ вершиной\ в\ центре\ }\]
\[\mathbf{окружности\ называется\ }\]
\[\mathbf{центральным\ углом.}\]
\[\boxed{\mathbf{7.}}\]
\[Дуга\ \ называется\ \ \]
\[полуокружностью,\ если\ \]
\[отрезок,\ соединяющий\ \ её\ \ \]
\[концы,\ является\ \ диаметром\ \ \]
\[окружности.\ \ \]
\[Если\ угол\ не\ развернутый,\ то\ \]
\[говорят,\ что\ дуга,\ \]
\[расположенная\ внутри\]
\[этого\ угла,\ меньше\ \]
\[полуокружности\ \]
\[(меньше\ 180{^\circ}).\]
\[Про\ другую\ дугу\ говорят,\ что\ \]
\[она\ больше\ полуокружности\ \]
\[(больше\ 180{^\circ}).\]
\[\boxed{\mathbf{8.}}\]
\[\mathbf{Градусная\ мера\ дуги,\ как\ и\ }\]
\[\mathbf{сама\ дуга,\ обозначается\ }\]
\[\mathbf{символом \cup .}\]
\[\mathbf{Дугу\ окружности\ можно\ }\]
\[\mathbf{измерить\ в\ градусах.}\]
\[Если\ дуга\ окружности\ меньше\ \]
\[полуокружности\ или\ является\]
\[полуокружностью,\ то\ ее\ \]
\[градусная\ мера\ считается\ \]
\[равной\ градусной\ мере\ \]
\[центрального\ угла.\]
\[Если\ дуга\ больше\ \]
\[полуокружности,\ то\ ее\ \]
\[градусная\ мера\ считается\]
\[равной\ 360{^\circ} - центральный\ \]
\[угол.\]
\[Сумма\ градусных\ мер\ двух\ дуг\ \]
\[окружности\ с\ общими\ \]
\[концами\ равна\ 360{^\circ}.\]
\[\boxed{\mathbf{9.}}\]
\[Угол,\ вершина\ которого\ лежит\ \]
\[на\ окружности,\ а\ стороны\ \]
\[пересекают\ окружность,\ \]
\[называется\ вписанным\ углом.\]
\[Теорема:\]
\[выписанный\ угол\ измеряется\ \]
\[половиной\ дуги,\ на\ которую\ \]
\[он\ опирается.\]
\[Дано:\]
\[Окружность\ (O;R);\]
\[\angle ABC - вписанный;\]
\[AC - дуга.\]
\[Доказать:\]
\[\angle ABC = \frac{1}{2} \cup AC.\]
\[Доказательство.\]
\[Возможны\ три\ случая\ \]
\[расположения\ луча\ \text{BO\ }\]
\[относительно\ \angle ABC.\]
\[1)\ BO\ совпадает\ с\ одной\ из\ \]
\[сторон\ \angle ABC.\ Например,\ со\ \]
\[стороной\ \text{BC.}\]
\[\cup AC\ меньше\ полуокружности;\ \]
\[\ \angle ABC = \cup AC.\]
\[\angle AOC - внешний\ угол\ \]
\[равнобедренного\]
\[\ ⊿ABO\ (\angle 1 = \angle 2):\]
\[\angle AOC = \angle 1 + \angle 2 = 2\angle 1.\]
\[Отсюда:\]
\[2\angle 1 = \cup AC;\]
\[\angle ABC = \frac{1}{2} \cup AC.\]
\[2)\ BO\ делит\ \angle ABC\ на\ два\ угла;\]
\[\text{BO\ }пересекает\ дугу\ \text{AC\ }в\ точке\]
\[\ \text{D.}\]
\[Точка\ D\ делит\ дугу\ \text{AC\ }на\ \]
\[две\ дуги:\]
\[\cup \text{AD\ }и\ \cup \text{DC.}\]
\[Отсюда\ (см.\ пункт\ 1):\]
\[\angle ABD = \frac{1}{2} \cup AD;\]
\[\angle DBC = \frac{1}{2} \cup DC.\]
\[Складываем\ равенства\ и\ \]
\[получаем:\]
\[\angle ABD + \angle DBC =\]
\[= \frac{1}{2} \cup AD + \frac{1}{2} \cup DC\]
\[\angle ABC = \frac{1}{2} \cup AC.\]
\[3)\ BO\ не\ делит\ угол\ ABC\ \]
\[пополам\ и\ не\ совпадает\ \]
\[со\ стороной\ этого\ угла.\]
\[Пусть\ луч\ пересекает\ дугу\ \text{AD\ }\]
\[в\ точке\ \text{C.}\]
\[Точка\ \text{C\ }делит\ дугу\ на\ две\ \]
\[части:\ \cup AC\ и\ \cup \text{DOC.}\]
\[Тогда:\]
\[\cup AD = \cup AC + \cup CD\]
\[\cup AC = \cup AD - \cup CD.\]
\[\text{BC\ }разделил\ угол\ \text{ABD\ }на\ два:\]
\[\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD\]
\[\angle ABC = \angle ABD - \angle CBD.\]
\[\angle ABD = \frac{1}{2} \cup AD;\ \ \angle CBD =\]
\[= \frac{1}{2} \cup CD\ (см.\ пункт\ 1).\]
\[Вычтем\ из\ первого\ равенства\ \]
\[второе:\]
\[\angle ABD - CBD =\]
\[= \frac{1}{2} \cup AD - \frac{1}{2} \cup CD\]
\[\angle ABC = \frac{1}{2} \cup AC.\]
\[Теорема\ доказана.\]
\[\boxed{\mathbf{10.}}\]
\[Вписанные\ углы,\ \]
\[опирающиеся\ на\ одну\ и\ ту\ же\ \]
\[дугу,\ равны.\]
\[Дано:\]
\[окружность;\]
\[\angle BAC\ и\ \angle BDC - вписанные.\]
\[Доказать:\]
\[\angle BAC = \angle BDC.\]
\[Доказательство.\]
\[Оба\ вписанных\ угла\ \]
\[опираются\ на\ одну\ дугу:\text{BC.}\]
\[По\ теореме\ о\ вписанном\ угле:\]
\[\angle BAC = \frac{1}{2} \cup BC;\]
\[\angle BDC = \frac{1}{2} \cup BC.\]
\[Отсюда:\]
\[\angle\ BAC = \angle BDC.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{11.}}\]
\[Вписанный\ угол,\ \]
\[опирающийся\ на\ \]
\[полуокружность,\ прямой.\]
\[Дано:\]
\[окружность;\]
\[\angle BAC - вписанный;\]
\[BC - диаметр.\]
\[Доказать:\]
\[\angle BAC - прямой.\]
\[Доказательство.\]
\[BC - диаметр:\]
\[\angle BAC\ опирается\ на\ \]
\[полуокружность,\ равную\ 180{^\circ}:\]
\[\cup BC = 180{^\circ} -\]
\[полуокружность,\ на\ которую\ \]
\[опирается\ вписанный\ угол.\]
\[По\ теореме\ о\ вписанном\ угле:\]
\[\angle BAC = \frac{1}{2} \cup BC = \frac{1}{2} \cdot 180{^\circ} = 90{^\circ}.\]
\[Следовательно:\]
\[\angle BAC - прямой.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{12.}}\]
\[\mathbf{Угол\ \ между\ \ хордами\ \ }\]
\[\mathbf{окружности\ \ измеряется\ }\]
\[\mathbf{полусуммой\ \ двух\ \ дуг\ }\mathbf{\ этой\ \ }\]
\[\mathbf{окружности,\ заключённых\ \ }\]
\[\mathbf{между\ \ сторонами\ \ угла\ \ и\ \ их\ }\mathbf{\ }\]
\[\mathbf{продолжениями.}\]
\[\boxed{\mathbf{13.}}\]
\[\mathbf{Угол\ \ между\ \ секущими\ \ }\]
\[\mathbf{окружности,\ }\]
\[\mathbf{пересекающимися\ \ в\ \ точке,\ \ }\]
\[\mathbf{внешней\ \ относительно\ \ этой\ }\]
\[\mathbf{окружности,\ измеряется\ \ }\]
\[\mathbf{полуразностью\ \ двух\ дуг\ \ этой\ \ }\]
\[\mathbf{окружности,\ заключённых\ \ }\]
\[\mathbf{внутри\ \ угла.}\]
\[\boxed{\mathbf{14.}}\]
\[\mathbf{Угол\ \ между\ \ хордой\ \ и\ }\]
\[\mathbf{касательной\ \ к\ \ окружности\ }\]
\[\mathbf{измеряется\ \ половиной\ \ }\mathbf{дуги\ \ }\]
\[\mathbf{этой\ \ окружности,\ }\]
\[\mathbf{заключённой\ \ внутри\ \ угла.}\]
\[\boxed{\mathbf{15.}}\]
\[\mathbf{Угол\ \ между\ \ касательной\ \ к\ \ }\]
\[\mathbf{окружности\ \ и\ \ секущей,\ }\]
\[\mathbf{не\ \ проходящей\ \ }\mathbf{через\ \ точку\ \ }\]
\[\mathbf{касания,\ измеряется\ \ }\]
\[\mathbf{полуразностью\ \ дуг\ \ этой\ \ }\]
\[\mathbf{окружности,}\mathbf{\ }\mathbf{на\ которые\ \ }\]
\[\mathbf{точкой\ \ касания\ \ делится\ \ дуга,\ }\]
\[\mathbf{заключённая\ \ внутри\ }\mathbf{\ }\]
\[\mathbf{этого\ \ угла.}\]
\[\boxed{\mathbf{16.}}\]
\[\mathbf{Если\ все\ стороны\ }\]
\[\mathbf{многоугольника\ касаются\ }\]
\[\mathbf{окружности,\ то\ \ }\mathbf{окружность\ \ }\]
\[\mathbf{называется\ \ вписанной\ \ }\]
\[\mathbf{в\ \ многоугольник,\ }\mathbf{\ }\]
\[\mathbf{а\ \ многоугольник\ —\ }\]
\[\mathbf{описанным\ \ около\ \ этой\ \ }\]
\[\mathbf{окружности.\ }\]
\[\boxed{\mathbf{17.}}\]
\[\mathbf{В\ любом\ описанном\ }\]
\[\mathbf{четырехугольнике\ суммы\ }\]
\[\mathbf{противоположных}\]
\[\mathbf{сторон\ равны.}\]
\[\boxed{\mathbf{18.}}\]
\[\mathbf{Если\ \ все\ \ вершины\ \ }\]
\[\mathbf{многоугольника\ \ лежат\ \ на\ \ }\]
\[\mathbf{окружности,\ то\ \ }\mathbf{окружность\ \ }\]
\[\mathbf{называется\ \ описанной\ \ около\ \ }\]
\[\mathbf{многоугольника,\ }\mathbf{\ }\]
\[\mathbf{а\ \ многоугольник\ —\ }\]
\[\mathbf{вписанным\ \ в\ \ эту\ \ окружность.}\]
\[\boxed{\mathbf{19.}}\]
\[В\ любом\ вписанном\ \]
\[четырехугольнике\ сумма\ \]
\[противоположных\ углов\]
\[равна\ 180{^\circ}.\]