Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 859

\[\boxed{\mathbf{859.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\ \ \]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\ \ \]

\[A_{1} \in BC;\ \ B_{1} \in AC;\ \ C_{1} \in AB;\ \ \]

\[A_{2},B_{2},C_{2} - симметричны\ A_{1},B_{1}\ \]

\[и\ C_{1}\ относительно\ середин\ \]

\[сторон;\]

\[Доказать:\ \ \]

\[AA_{1},BB_{1},CC_{1}\ пересекаются\ в\ \]

\[одной\ точке\ только\ тогда,\ \]

\[когда\ AA_{2},BB_{2}\ и\ CC_{2}\ \]

\[пересекаются\ в\ одной\ точке.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Так\ как\ точки\ A_{2},B_{2},C_{2}\ \]

\[симметричны\ точкам\ A_{1},B_{1},C_{1}\text{\ \ }\]

\[относительно\ середин\ сторон:\ \]

\[BA_{2} = CA_{1}\ и\ BA_{1} = CA_{2};\ \ \]

\[BC_{1} = AC_{2}\ \ и\ \ BC_{2} = AC_{1};\]

\[AB_{2} = CB_{1}\ и\ CB_{2} = AB_{1}.\]

\[2)\ \ Таким\ образом:\]

\[\frac{AC_{1}}{BC_{1}} \bullet \frac{BA_{1}}{CA_{1}} \bullet \frac{CB_{1}}{AB_{1}} =\]

\[= \frac{BC_{2}}{AC_{2}} \bullet \frac{CA_{2}}{BA_{2}} \bullet \frac{AB_{2}}{CB_{2}}.\]

\[Следовательно,\ по\ теореме\ \]

\[Чевы:\]

\[если\ AA_{1},BB_{1},CC_{1}\ \]

\[пересекаются\ в\ одной\ точке,\ то\ \]

\[и\ AA_{2},BB_{2},CC_{2} -\]

\[пересекаются\ в\ одной\ точке.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]