Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 848

\[\boxed{\mathbf{848.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\ \ \]

\[ABCD - четырехугольник;\ \ \]

\[AB = a;\ \ BC = b;\ \ \]

\[CD = c;\ \ DA = d;\]

\[ABCD - а)\ описанный;\ \ \ \]

\[\textbf{б)}\ описанный\ и\ вписанный;\]

\[Доказать:\ \text{\ \ }\]

\[\textbf{а)}\ \ S = \sqrt{\text{abcd}} \bullet \sin\frac{B + D}{2};\ \ \ \]

\[\textbf{б)}\ S = \sqrt{\text{abcd}}.\]

\[Доказательство.\]

\[\textbf{а)}\ 1)\ ABCD - описанный:\]

\[a + c = b + d;\]

\[p = \frac{a + b + c + d}{2} = a + c =\]

\[= b + d.\]

\[2)\ Из\ доказанного\ в\ задаче\ 847:\]

\[= \sqrt{c \bullet d \bullet a \bullet b - abcd \bullet \cos^{2}\frac{B + D}{2}} =\]

\[= \sqrt{abcd \bullet \left( 1 - \cos^{2}\frac{B + D}{2} \right)} =\]

\[= \sqrt{\text{abcd}} \bullet \sin\frac{B + D}{2}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\textbf{б)}\ ABCD - описанный\ и\ \]

\[вписанный:\]

\[\angle B + \angle D = 180{^\circ};\]

\[\sin\frac{B + D}{2} = \sin{90{^\circ}} = 1;\]

\[\ S = \sqrt{\text{abcd}} \bullet 1 = \sqrt{\text{abcd}}\text{.\ }\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]