Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 804

\[\boxed{\mathbf{804.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\ \ \]

\[ABCD - тетраэдр;\ \ \]

\[ACM - сечение;\ \ \]

\[DM = MB.\]

\[Доказать:\ \text{\ \ }\]

\[V_{\text{ABCM}} = V_{\text{ACMD}}.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Опустим\ высоты\ из\ точек\ D\ \]

\[и\ \text{M\ }на\ плоскость\ ABC:\ \ \]

\[DH\bot ABC\ \ и\ \ MH_{1}\bot ABC.\]

\[Значит:\ \]

\[DH \parallel MH_{1};\ \ \]

\[\left( \text{DH\ }и\ MH_{1} \right)\bot AB.\]

\[2)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}ADB:\ \ \]

\[DM = MB;\ \ \ \ DH\bot AB;\ \ \]

\[MH_{1} \parallel DH.\]

\[Отсюда:\]

\[MH_{1} = \frac{1}{2}DH;\]

\[3)\ V_{\text{ACBD}} = \frac{1}{3} \bullet S_{\text{ABC}} \bullet DH;\ \]

\[V_{\text{ACBM}} = \frac{1}{3} \bullet S_{\text{ABC}} \bullet MH_{1};\]

\[\frac{V_{\text{ACBM}}}{V_{\text{ACBD}}} = \frac{1}{2}.\]

\[Следовательно:\ \]

\[S_{\text{ABCM}} = S_{\text{ACMD}} = \frac{1}{2}V_{\text{ABC}}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]