Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 802

\[\boxed{\mathbf{802.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\ \ \]

\[\text{ABC}A_{1}B_{1}C_{1} - треугольная\ \]

\[призма;\]

\[AB_{1}C_{1}\ и\ A_{1}BC - сечения,\]

\[разбивают\ призму\ на\ 4\ части.\]

\[Найти:\ \]

\[отношение\ объемов\ частей.\]

\[Решение.\]

\[1)\ A_{1}B = AB_{1};\ \ AC_{1} = A_{1}C;\ \ \]

\[B_{1}C_{1} = BC:\]

\[\mathrm{\Delta}A_{1}BC = \mathrm{\Delta}AB_{1}C_{1} - по\ трем\ \]

\[сторонам.\]

\[2)\ Построим\ отрезок\ MN -\]

\[пересечение\ плоскостей\ AB_{1}C_{1}\ \]

\[и\ A_{1}BC:\]

\[\ точки\ \text{M\ }и\ N - пересечение\ \]

\[диагоналей\ прямоугольников\ \]

\[AA_{1}BB_{1}\ и\ AA_{1}CC_{1}.\]

\[Следовательно:\ \]

\[MN - средняя\ линия\ \]

\[треугольников\ \mathrm{\Delta}A_{1}BC\ и\ \]

\[\mathrm{\Delta}AB_{1}C_{1}.\]

\[3)\ Пусть\ V - объем\ призмы:\ \ \]

\[V = S_{\text{ABC}} \bullet AA_{1};\ \]

\[V_{A_{1}\text{ABC}} = \frac{1}{3} \bullet S_{\text{ABC}} \bullet AA_{1} = \frac{1}{3}\text{V\ \ }\]

\[\left( так\ как\text{\ A}_{1}ABC - тетраэдр \right).\]

\[4)\ \ Построим\ AH\bot A_{1}BC:\]

\[AH - общая\ высота\ для\ \]

\[тетраэдров\ A_{1}ABC\ и\ \ A_{1}AMN;\]

\[\frac{V_{\text{AMN}A_{1}}}{V_{A_{1}\text{ABC}}} = \frac{S_{\text{MN}A_{1}}}{S_{\text{BC}A_{1}}} = \frac{1}{4}\ \]

\[(так\ как\ MN - средняя\ линия);\]

\[V_{\text{AMN}A_{1}} = \frac{1}{4}V_{A_{1}\text{ABC}} = \frac{1}{12}\text{V.}\]

\[5)\ MNB_{1}C_{1} = MNCB;\ \ \ \]

\[\text{MN}A_{1} = MNA;\ \ \ ABC = A_{1}B_{1}C_{1}:\]

\[ABCMN = A_{1}B_{1}C_{1}\text{MN.}\]

\[V_{\text{ABCMN}} = V_{A_{1}B_{1}C_{1}\text{MN}} = \frac{3}{4}V_{A_{1}\text{ABC}} =\]

\[= \frac{1}{4}\text{V.}\]

\[6)\ \ BCB_{1}C_{1}MN =\]

\[= V - \frac{1}{4}V - \frac{1}{4}V - \frac{1}{12}V = \frac{5}{12}\text{V.}\]

\[Ответ:\ \frac{1}{12}V;\ \frac{1}{4}V;\ \frac{1}{4}V;\ \frac{5}{12}V,\ \]

\[где\ V - объем\ призмы.\]