Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 786

\[\boxed{\mathbf{786.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\ \]

\[A_{1}A_{2}\ldots A_{12} - правильный\ \]

\[икоаэдр;\ \ \]

\[O_{1}O_{2}\ldots O_{20} - центры\ граней\text{.\ }\]

\[Доказать:\ \]

\[O_{1}O_{2}\ldots O_{20} - правильный\ \]

\[додекаэдр.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Прямая,\ соединяющая\ две\ \]

\[противоположные\ вершины\ \]

\[правильного\ икосаэдра,\ \]

\[является\ \ осью\ симметрии\ \]

\[пятого\ порядка:икосаэдр\ \]

\[совмещается\ с\ собой\ при\ \]

\[повороте\ на\ 72{^\circ},\ 144{^\circ},\ 216{^\circ}\ или\ \]

\[288{^\circ}.\]

\[2)\ Пусть\ икосаэдр\ вращается\ \]

\[вокруг\ оси\ проходящей\ через\ \]

\[вершину\ A_{1}:при\ повороте\ на\ \]

\[72{^\circ}\ точки\ O_{1} \rightarrow O_{2},\ O_{2} \rightarrow O_{3},\ \]

\[O_{3} \rightarrow O_{4},\ O_{4} \rightarrow O_{5},\ O_{5} \rightarrow O_{1}.\]

\[Следовательно:\ \]

\[O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}O_{5} - правильный\ \]

\[пятиугольник.\]

\[3)\ Аналогично\ для\ осей,\ \]

\[проходящих\ через\ каждую\ \]

\[вершину\ икосаэдра.\]

\[Значит,\ каждые\ точки\ центров\ \]

\[пяти\ соседних\ граней\ \]

\[икосаэдра\ образуют\ \]

\[правильный\ пятиугольник.\]

\[4)\ Таким\ образом,\ 20\ точек\ \]

\[центров\ граней\ икосаэдра\ \]

\[образуют\ 12\ правильных\ \]

\[пятиуголькиков.\]

\[Следовательно:\ \ \ O_{1}O_{2}\ldots O_{20} -\]

\[правильный\ додекаэдр.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]