Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 751

\[\boxed{\mathbf{751.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\[ABCD - тетраэдр;\]

\[ребра\ равны;\]

\[D_{1} - проекция\ \text{D\ }на\ плоскость\ \]

\[\text{ABC.}\]

\[Решение.\]

\[По\ определению\ проекции:\]

\[прямая\ DD_{1}\bot плоскости\ ABC;\ \]

\[то\ есть\ она\ перпендикулярна\ \]

\[всем\ прямым,\ лежащим\ в\ этой\ \]

\[плоскости.\ \]

\[\textbf{а)}\ \overrightarrow{D_{1}D} - направляющий\ вектор\ \]

\[прямой\ D_{1}D;\]

\[\overrightarrow{D_{1}B} - направляющий\ вектор\ \]

\[прямой\ D_{1}\text{B.}\]

\[\overrightarrow{D_{1}B}\bot\overrightarrow{D_{1}D}\text{.\ }\]

\[\textbf{б)}\ \overrightarrow{DD_{1}} - направляющий\ вектор\ \]

\[прямой\ D_{1}D\bot\left( \text{ABC} \right):\]

\[DD_{1}\bot BC.\]

\[\overrightarrow{\text{BC}} - направляющий\ вектор\ \]

\[прямой\ \text{BC.}\]

\[Получаем:\]

\[\overrightarrow{DD_{1}}\bot\overrightarrow{\text{BC}}.\]

\[\textbf{в)}\ \overrightarrow{\text{DA}}\ и\ \overrightarrow{\text{BC}} - направляющие\ \]

\[векторы\ прямых\ DA\ и\ \text{BC.}\]

\[Так\ как\ тетраэдр\ правильный,\ \]

\[то\ его\ вершина\ D\ проецируется\ \]

\[в\ центр\ ⊿ABC.\]

\[Если\ \ провести\ в\ этом\ \]

\[треугольнике\ высоту\ AM;\]

\[то\ DD_{1}\ пересечется\ с\ ней\ в\ \]

\[точке\ D_{1}\ и\ мы\ получим\ две\ \]

\[пересекающиеся\ прямые\bot\text{CB}.\]

\[Отсюда:\]

\[\overrightarrow{\text{DA}}\bot\overrightarrow{\text{BC}}.\]

\[\textbf{г)}\ Если\ бы\ \overrightarrow{\text{CB}}\bot\overrightarrow{D_{1}B},\ то\ по\ \]

\[теореме,\ обратной\ теореме\ о\ \]

\[трех\ перпендикулярах,\]

\[\overrightarrow{CD_{1}}\bot\overrightarrow{D_{1}B}.\ Но\ это\ прямые,\ \]

\[содержащие\ медианы\ \]

\[правильного\ треугольника:\]

\[они\ не\ перпендикулярны.\]

\[Следовательно:\]

\[\overrightarrow{\text{DC}}\ и\ \overrightarrow{D_{1}B} - не\ \]

\[перпендикулярны.\]