Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 610
610
\[\boxed{\mathbf{610.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]
\[Дано:\ \ \]
\[точки\ A_{1},B_{1},C_{1},D_{1} - основания\ \]
\[перпендикуляров,\ \]
\[проведенных\ к\ плоскости\ \text{a\ }из\ \]
\[вершин\ \mathrm{\Delta}\text{ABC\ }и\ из\ точки\ M -\]
\[пересечения\ медиан\ этого\ \]
\[треугольника.\]
\[Узнать:\ \ \]
\[MM_{1} = \frac{1}{3}\left( AA_{1} + BB_{1} + CC_{1} \right),\ \]
\[останется\ ли\ равенство\ \]
\[верным,если\ какие - то\ \]
\[стороны\ \mathrm{\Delta}ABC\ пересекаются\ с\ \]
\[плоскостью\ a.\]
\[Решение.\]
\[1)\ Пусть\ K - середина\ AB;\]
\[K_{1} - проекция\ точки\ K\ на\ \]
\[плоскость\ a;\]
\[K_{1} \in A_{1}B_{1};\ \ KA = KB;\ \ \]
\[A_{1}K_{1} = K_{1}B_{1}.\]
\[Следовательно:\]
\[C_{1}K_{1} - медиана\ \mathrm{\Delta}A_{1}B_{1}C_{1}.\]
\[2)\ M \in CK \rightarrow M_{1} \in C_{1}K_{1}:\]
\[аналогично\ для\ любой\ \]
\[медианы\ \mathrm{\Delta}A_{1}B_{1}C_{1}.\]
\[Следовательно:\ \]
\[M_{1} - точка\ пересечения\ \]
\[медиан\ \mathrm{\Delta}A_{1}B_{1}C_{1}.\]
\[3)\ \overrightarrow{MM_{1}} = \overrightarrow{\text{MA}} + \overrightarrow{AA_{1}} + \overrightarrow{A_{1}M_{1}};\ \ \]
\[\overrightarrow{MM_{1}} = \overrightarrow{\text{MB}} + \overrightarrow{BB_{1}} + \overrightarrow{B_{1}M_{1}};\]
\[\overrightarrow{MM_{1}} = \overrightarrow{\text{MC}} + \overrightarrow{CC_{1}} + \overrightarrow{C_{1}M_{1}}.\]
\[Отсюда\ (складываем):\]
\[Отсюда:\ \]
\[MM_{1} = \frac{1}{3}\left( AA_{1} + BB_{1} + CC_{1} \right).\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[4)\ Если\ какие - нибудь\ \]
\[стороны\ \mathrm{\Delta}\text{ABC\ }будут\ \]
\[пересекать\ плоскость\ a,\]
\[тогда\ некоторые\ из\ векторов\ \]
\[\overrightarrow{MM_{1}},\ \overrightarrow{AA_{1}},\ \overrightarrow{BB_{1}}\ и\ \overrightarrow{CC_{1}}\ будут\ \]
\[противонаправленными\ и\ \]
\[равенство\ \]
\[\overrightarrow{MM_{1}} = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{\text{MA}} + \overrightarrow{\text{MB}} + \overrightarrow{\text{MC}} \right)\ не\ \]
\[будет\ равнозначным\ \]
\[равенству\]
\[MM_{1} = \frac{1}{3}\left( AA_{1} + BB_{1} + CC_{1} \right).\]
\[Ответ:\ \ не\ останется.\]
