Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 608
608
\[\boxed{\mathbf{608.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]
\[Дано:\ \ \]
\[ABCD - тетраэдр;\ \ \]
\[O - точка\ пересечения\ медиан\ \]
\[грани\ BCD.\]
\[Доказать:\ \ \]
\[AO < \frac{1}{3}(AB + AC + AD).\]
\[Решение.\]
\[1)\ Точка\ O - пересечение\ \]
\[медиан\ \mathrm{\Delta}\text{BCD\ }и\ A -\]
\[произвольная\ точка\]
\[пространства\ (из\ доказанного\ \]
\[в\ №603):\]
\[\overrightarrow{\text{AO}} = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AC}} + \overrightarrow{\text{AD}} \right) =\]
\[= \frac{1}{3}\overrightarrow{\text{AB}} + \frac{1}{3}\overrightarrow{\text{AC}} + \frac{1}{3}\overrightarrow{\text{AD}}.\]
\[2)\ Из\ доказанного\ в\ №587:\]
\[\left| \overrightarrow{\text{AO}} \right| < \frac{1}{3}\left| \overrightarrow{\text{AB}} \right| + \frac{1}{3}\left| \overrightarrow{\text{AC}} \right| + \frac{1}{3}\left| \overrightarrow{\text{AD}} \right|.\]
\[Следовательно:\]
\[AO < \frac{1}{3}(AB + AC + AD).\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
