Решебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 514

\[\boxed{\mathbf{514.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]

\[Дано:\]

\[a = 30{^\circ};\ \ \]

\[R;\]

\[OAB - круговой\ сектор.\]

\[Найти:\]

\[\text{V.}\]

\[Решение.\]

\[1)\ Пусть\ круговой\ сектор\ \]

\[вращается\ вокруг\ радиуса\ OB:\]

\[\angle COB = \angle BOA = 30{^\circ};\]

\[\angle COA = 60{^\circ}.\]

\[2)\ \angle COA = 60{^\circ};\ \ CO = OA = R:\ \]

\[\mathrm{\Delta}COA - правильный.\]

\[Отсюда:\ \]

\[CA = CO = OA = R;\]

\[CD = DA;\]

\[OD - высота.\]

\[3)\ \mathrm{\Delta}CDO - прямоугольный:\]

\[CO = R;\ \ \ CD = \frac{\text{CA}}{2} = \frac{R}{2};\]

\[OD = \sqrt{R^{2} - \left( \frac{R}{2} \right)^{2}} = \sqrt{\frac{3R^{2}}{4}} =\]

\[= \frac{R}{2}\sqrt{3}.\]

\[4)\ Высота\ шарового\ сегмента:\]

\[h = DB = OB - OD =\]

\[= R - \frac{R}{2}\sqrt{3} = R\left( 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \right).\]

\[5)\ Объем\ шарового\ сегмента:\]

\[V = \frac{2}{3}\pi R^{2}h =\]

\[= \frac{2}{3}\pi R^{3} \bullet \left( 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) =\]

\[= \frac{2 - \sqrt{3}}{3}\pi R^{3}.\]

\[Ответ:\ \ V = \frac{2 - \sqrt{3}}{3}\text{\ π}R^{3}.\]