Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 11 класс. Атанасян ФГОС 309
309
\[\boxed{\mathbf{309.}ОК\ ГДЗ\ –\ домашка\ на\ 5}\]
\[Дано:\]
\[ABCD - прямоугольник;\]
\[AD = 6\ дм;\]
\[AD = 8\ дм;\]
\[h = 6\ дм.\]
\[Найти:\]
\[S_{сеч}.\]
\[Решение.\]
\[Пусть\ MH\ —\ высота\ пирамиды\ \]
\[MABCD;\]
\[O—\ середина\ MH.\ \]
\[1)\ Проведем\ сечение\ через\ \]
\[сторону\ AB\ = \ 6\ дм\ и\ точку\ O.\ \]
\[2)\ Так\ как\ точки\ A,\ O,\ H,\ M,\ C\ \]
\[лежат\ в\ одной\ плоскости\ MAC,\ \]
\[то\ прямая\ \]
\[AO\ лежит\ и\ в\ плоскости\ \]
\[сечения,\ и\ в\ плоскости\ MAC.\ \]
\[Поэтому\ точка\ N—\ точка\ \]
\[пересечения\ AO\ и\ MC,\ также\ \]
\[лежит\ в\ плоскости\ сечения.\ \]
\[Аналогично:\ точка\ K—\ точка\ \]
\[пересечения\ BO\ и\ MD\ тоже\ \]
\[принадлежит\ сечению.\ \]
\[Таким\ образом:\ ABNK—\ \]
\[искомое\ сечение.\]
\[3)\ ⊿AOB\ подобен\ ⊿NOK:\]
\[\angle AOB = \angle NOK.\]
\[4)\ Проведем\ OO^{'} - средняя\ \]
\[линия\ ⊿MHC;\]
\[OE \parallel AC.\]
\[5)\ ⊿AOO^{'}подобен\ ⊿ONE:\]
\[\angle AOO^{'} = \angle ONE;\]
\[\angle OAO^{'} = \angle NOE.\]
\[Отсюда:\]
\[\frac{\text{AO}}{\text{ON}} = \frac{AO^{'}}{\text{OE}};\ \ \ OE = O^{'}\text{C\ }\]
\[\left( \text{OEC}O^{'} - параллелограмм \right);\]
\[O^{'}C = \frac{1}{2}CH = \frac{1}{2}AH = \frac{1}{3}AO^{'}.\]
\[Значит:\]
\[\frac{\text{AO}}{\text{ON}} = \frac{AO^{'}}{O^{'}C} = \frac{3}{1}.\]
\[6)\ Аналогично\ из\ ⊿MBD:\]
\[\frac{\text{BO}}{\text{OK}} = \frac{3}{1}.\]
\[Следовательно:\]
\[⊿AOB\ подобен\ ⊿NOK;\]
\[k = 3.\]
\[7)\ AB = 6\ дм;\ \ NK = 2\ дм;\ \ \]
\[AB \parallel NK:\]
\[ABNK - трапеция.\]
\[8)\ Проведем\ FG\ через\ точку\ \]
\[O - высоту\ трапеции\ \text{ABNK.}\]
\[OH = \frac{1}{2}MH = 3\ дм;\ \ \]
\[HG = \frac{1}{2}BC = 4\ дм:\]
\[OG = \sqrt{OH^{2} + HG^{2}} =\]
\[= \sqrt{9 + 16} = 5\ дм.\]
\[9)\ Из\ подобия\ треугольников\ \]
\[\text{AOB\ }и\ NOK:\]
\[OF = \frac{1}{3}OG = \frac{5}{3}\ дм.\]
\[10)\ S_{\text{ABNK}} = \frac{1}{2}(AB + NK) \cdot FG =\]
\[= \frac{1}{2}(AB - NK)(OG + OF) =\]
\[= \frac{1}{2}(6 + 2)\left( 5 + \frac{5}{3} \right) = \frac{80}{3}\ дм^{2}.\]
\[Ответ:\ \frac{80}{3}\ дм^{2}.\]
